LIMITES ET CONTINUITÉ

LIMITES
1- Limite d’une fonction en un point x₀
Soit f une fonction numérique définie dans un intervalle I contenant x₀. La limite de f(x) lorsque x tend vers x₀ si elle existe est :

Exemple :

REMARQUE :

·       
Si la limite d’une fonction en un réel x₀ existe alors celle-ci est unique.

·        Si la limite donne un nombre réel différent de de +∞ ou de -∞, elle est finie.

·        Si la limite donne -∞ ou +∞, elle est infinie.

2-Limite à gauche –limite à droite de x₀.

On dit qu’une fonction f admet une limite à gauche en x₀ égale à l lorsque :

On dit qu’une fonction f admet une limite à droite en x₀ égale à l lorsque :

                                                                                                                                             .     

Exemple :

  ()

Le signe de dépend du dénominateur x-1 :

x	-∞.        .        .              .   1       .   . +∞
x-1	.                 -	.                 +
signe	.                0^-	.                0^+

REMARQUE :

Pour que la limite d’une fonction en un réel existe, il n’est pas nécessaire que la fonction soit définie en ce réel, mais elle doit être définie au voisinage de ce réel.

3-Limite des fonctions à l’infini
a-Définition 

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant l’infini. On dit que f admet une limite en + ou – l’infini si l’image de l’infini par f est définie. On note :

- La limite d’une fonction polynôme à l’infini est égale à la limite de son monôme du plus haut degré.

Exemple :

- La limite d’une fonction rationnelle à l’infini est égale au quotient du rapport des monômes du plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Exemple :

b. Limites à l’infini des fonctions de référence

4- Limite et opérations sur les fonctions
Soit f et g deux fonctions l et l’ deux réels.

Méthodes pour lever l’indétermination

- Factorisation

Exemple :

 Forme indéterminée

Pour lever l’indétermination dans ce cas, on écrit : x-Ѵx = x(1-Ѵx/x) = x(1-1/Ѵx)

-Utilisation de l’expression conjuguée

Exemple :

Forme indeterminee

Pour lever l’indétermination dans ce cas, on écrit :

-Utilisation de l’expression conjuguée et d’une factorisation

Exemple :

Forme indeterminee

Pour lever l’indétermination dans ce cas, on écrit :

CONTINUITÉ

Définition :

f étant une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a,

Continuité à gauche et à droite en un réel

Propriété
Une fonction est continue en x₀ lorsqu’elle est continue à gauche et à droite de x_0.

Exemple :

 .

Continuité sur un intervalle

 Une fonction f est dite continue sur un intervalle K lorsque sa restriction à K est continue en tout élément de K.

Prolongement par continuité

f est une fonction définie sur son ensemble de définition D_f, a un nombre réel n’appartenant pas à D_f. On suppose que f admet une limite finie l en a.

alors la fonction g définie par :

est continue en a.

Elle est appelée le prolongement par continuité de f en a.

Exemple : soit la fonction

Un prolongement de f par continuité en x₀=1 est :

EXERCICES

EXERCICE  I :

1. Calculer les limites suivantes :

a)

b)

c)

2. soit la fonction f définie sur IR-{2} par 

a) Détermine les limites de f en -∞ et en +∞

b) Détermine :

Précise le signe de x-2 en fonction de x.

c) En déduire les limites suivantes :

EXERCICE  II :

EXERCICE  III :

EXERCICE  IV :

CORRIGES :

EXERCICE  I :

1. Calculer les limites suivantes :

a);

b)

c)

2.

a)

=

b)

Signe de x-2

x	-∞.                                   2                                   +∞
x-2	-	+
signe

c)

EXERCICE  II :

1)

=

=

=

2)

3.

. Il faut lever l’indétermination

On factorise et on simplifie :

EXERCICE III :

a)

b)

EXERCICE  IV :

1.

·     

·               ,  

2. 

il faut que :

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