NOMBRES COMPLEXES

Nombre complexe, Forme algébrique

Définition et notation

On admet l’existence d’un nombre imaginaire noté i tel que i²=-1

On appelle nombre complexe tout nombre de la forme 𝑎 + 𝑖𝑏

𝑜ù 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ

L’ensemble des nombres complexes est noté ℂ.

Exemple: 2+3i, Ѵ2-6i.

Propriété:

Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique sous la forme 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 ;

La forme 𝑎 + 𝑖𝑏 est appelée forme algébrique du nombre complexe.

· Le nombre réel 𝑎 est appelé la partie réelle du complexe,

On note : 𝑎 = ℛ𝑒(𝑧).

· Le nombre réel 𝑏 est appelé la partie imaginaire du complexe,

On note : 𝑏 = ℐ𝑚(𝑧).

Exemples :

• 𝑧 = 3 − 2𝑖 est un nombre complexe de partie réelle 3 et de partie imaginaire −2.

• 𝑧 = 5𝑖 est un nombre complexe de partie réelle 0 et de partie imaginaire 5 ,

Remarque:

-Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est un nombre complexe imaginaire pur. L’ensemble des nombres complexes imaginaires purs est l’ensemble noté 𝑖ℝ.

Exemple: 𝑧 = 5𝑖 est un complexe imaginaire pur.

-Un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle est un nombre réel.

On a: ℝ ⊂ ℂ 𝑒𝑡 𝑖ℝ ⊂ ℂ.

Le seul nombre complexe à la fois réel et imaginaire pur est le nombre nul 0.

Egalite:

Deux nombres complexes z et z’ sont égaux si et seulement si:

-ils ont la même partie réelle

-ils ont la même partie imaginaire

z=a+ib

z’=a’+ib’

z=z’ => a=a’ et b=b.

Operations dans ℂ

Soient 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 𝑒𝑡 𝑧 ′ = 𝑎 ′ + 𝑖𝑏′ deux nombres complexes donnés.

• 𝑧 + 𝑧 ′ = (𝑎 + 𝑎 ′ ) + 𝑖(𝑏 + 𝑏 ′ ) ;

• 𝑧 × 𝑧 ′ = (𝑎𝑎 ′ − 𝑏𝑏 ′ ) + 𝑖(𝑎𝑏 ′ + 𝑎 ′𝑏).

• Pour tout nombre complexe non nul, (𝑎; 𝑏) ≠ (0; 0) et 1

• Soient 𝑧 𝑒𝑡 𝑧′ deux nombres complexes tels que 𝑧 ≠ 0

Exemples: Soient deux complexes z=2+3i et z’=4-i

· z+z’=(2+3i) +(4-i)=(2+4) +(3i-i)=6 +2i

· zxz’=(2+3i)( 4-i)=8-2i+12i-3i²=8-2i+12i+3=11+10i.

· .

Oppose d’un nombre complexe

Définition

Soit un nombre complexe 𝑧 tel que 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 𝑜ù 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ .

Le nombre complexe opposé de z est le nombre complexe noté -𝑧 tel que:

-z = -𝑎 − 𝑖𝑏.

Exemples :

· z=1+i => -z=-1-i

· z=5-3i => -z=5+3i

Conjugué d’un nombre complexe

Définition

Soit un nombre complexe 𝑧 tel que 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 𝑜ù 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ .

Le nombre complexe conjugué de z est le nombre complexe noté 𝑧̅ tel que:

𝑧̅ = 𝑎 − 𝑖𝑏.

Exemples :

· z=1+i => 𝑧̅=1-i

· z=5-3i => 𝑧̅=5+3i

Propriétés

Pour tout nombre complexe z,

z+ 𝑧̅ = 2ℛ𝑒(𝑧).

z- 𝑧̅ = 2i ℐ𝑚(𝑧)..

z x 𝑧̅ = ℛ𝑒(𝑧)² + ℐ𝑚(𝑧)²

Pour tout nombre complexe z,

x ∈ ℝ <= > 𝑧̅ =z

x ∈ iℝ <= > 𝑧̅ = -z

z étant un nombre complexe de forme algébrique a +ib,

z+ 𝑧̅ =2a

z- 𝑧̅ =2b

z x 𝑧̅ = a² +b²

Exemple: écrivons la forme conjuguée de

Module d’un nombre complexe

Définition

Le module du nombre complexe

𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 est le nombre réel positif noté |𝑧| tel que:

Exemple:

.

Propriétés

Soit (𝑧; 𝑧 ′ ) ∈ ℂ × ℂ, 𝑛 ∈ ℕ :

(i). Si 𝑧 = 𝑎, 𝑎 ∈ 𝐼𝑅 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 |𝑧| = |𝑎|.

(ii). Si 𝑧 = 𝑖𝑏 , 𝑏 ∈ 𝐼𝑅 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 |𝑧| = |𝑏|.

(iii). |𝑧 | = |−𝑧| = |𝑧|; |𝑧 × 𝑧′| = |𝑧|.|𝑧′|; |𝑧 ^𝑛| = |𝑧| ^𝑛 .

(iv). Pour 𝑧 ≠ 0, | 𝑧′ 𝑧 | = |𝑧′| |𝑧|.

;

(v). |𝑧 + 𝑧′| ≤ |𝑧| + |𝑧′| (inégalité triangulaire).

(vi). |𝑧| ² = 𝑧 × 𝑧 = (ℛ𝑒(𝑧)) ² + (ℐ𝑚(𝑧)) ²

Représentation géométrique d’un nombre complexe

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (𝑂; 𝑢⃗ , 𝑣⃗ ) ; on l’appelle aussi plan complexe.

➢ A tout nombre complexe 𝑧 = a + 𝑖b on associe le point 𝑀(a; b) du plan.

Réciproquement à tout point 𝐴(𝑎; 𝑏) du plan on associe le nombre complexe 𝑧₀ = 𝑎 + 𝑖𝑏. On établit ainsi une bijection entre ℂ 𝑒𝑡 𝒫 (plan). Le nombre complexe 𝑧 = a + 𝑖b est appelé affixe du point 𝑀. On note 𝑧_𝑀.

Le point 𝑀(a; b) est le point image du nombre complexe 𝑧 = a + 𝑖b . On note M(z) .

➢ On associe également à chaque vecteur 𝑤⃗ (𝑎; 𝑏) du plan le nombre complexe 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 appelé affixe du vecteur 𝑤⃗ .

On note 𝑧𝑤⃗= 𝑎 + 𝑏𝑖. Le vecteur 𝑤⃗ (𝑎; 𝑏) est le vecteur image du nombre complexe 𝑎 + 𝑖𝑏.

• (𝑂, 𝑢⃗ ) est appelé l’axe réel ;

• (𝑂, 𝑣⃗ ) est l’axe imaginaire.

Nombre complexe, Forme trigonométrique

Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct (𝑂; 𝑢⃗ , 𝑣⃗ ).

Argument d’un nombre complexe non nul

Définition

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (𝑂; 𝑢⃗ , 𝑣⃗ ), soit 𝑧 ∈ ℂ ∗ d’image M.

Un argument du nombre complexe z est une mesure en radian de l’angle orienté (⃗𝑢 ̂;𝑂𝑀⃗) .

Remarques :

- Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments de la forme arg(z) + 2kπ, k ∈ ℤ.

On note:

arg(z) modulo 2π ou arg(z) [2π].

-Tout nombre complexe non nul 𝑧 admet un unique argument appartenant à l’intervalle] −𝜋; 𝜋] appelé argument principal et noté 𝐴𝑟𝑔(𝑧).

Propriétés

Soient (𝑧; 𝑧 ′ ) ∈ ℂ ∗ × ℂ ∗ , 𝑛 ∈ ℕ :

o arg ( 1/ 𝑧 ) = arg(𝑧 ) = − arg(𝑧) + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

o arg(𝑧 × 𝑧 ′ ) = arg(𝑧) + arg(𝑧 ′ ) + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

o arg(𝑧 ^𝑛) = 𝑛. 𝑎𝑟𝑔(𝑧) + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

o arg ( 𝑧′/ 𝑧 ) = arg(𝑧 ′ ) − arg(𝑧) + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.

Exemple:

Soit z= 3 + 3i. Alors |z| = 3√2

arg (z) = π/4 [2π]

.

Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Définition

Soit 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 un nombre complexe non nul ;

𝑟 = |𝑧| 𝑒𝑡 𝜃 un argument de z.

z s’écrit de façon unique sous la forme :

𝑧 = 𝑟(cos𝜃 + 𝑖 sin𝜃).

Cette écriture est appelée la forme trigonométrique du nombre complexe z.

Exemple:

Détermine la forme trigonométrique du nombre complexe 𝒛 = −√𝟑 + 𝒊.

|𝒛| = 𝟐 ;

Soit 𝜑 un argument de 𝑧,

cos(𝜑) = −√3/ 2

sin(𝜑) = 1 /2 on en déduit qu’un argument de z est 5𝜋/ 6

La forme trigonométrique de 𝑧 est :

𝑧 = 2(cos( 5𝜋 /6 ) + 𝑖 sin( 5𝜋/ 6 )).

Remarques :

➢ Pour déterminer la forme trigonométrique d’un nombre complexe on calcule d’abord le module de 𝑧 puis un argument de 𝑧.

➢ La forme trigonométrique d’un complexe est bien indiquée pour déterminer les produits, les quotients ou les puissances d’un nombre complexe.

Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul.

Définition

Soit 𝑧 un nombre complexe non nul de module 𝑟 et d’argument 𝜽 .

On appelle forme exponentielle de 𝑧 l’écriture:

𝑧 = 𝑟𝑒 ^𝑖𝜽

Exemple:

2 + 2𝑖 = 2√2𝑒 ^{𝑖 𝜋/ 4} ;

4𝑖 = 4𝑒 ^{𝑖 𝜋/ 2} ;

5 = 5𝑒 ^𝑖0.

Propriété

Soient 𝑧 = 𝑟𝒆 ^𝒊𝜽 𝑒𝑡 𝑧 ′ = 𝑟′𝒆 ^𝒊𝝋 deux nombres complexes non nuls.

(i) 𝑧 ′ = 𝑧 ⇔ 𝑟 ′ = 𝑟 et 𝜑 = 𝜃 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

(ii) 𝑧 = 𝑟𝒆 ^−𝒊𝜃 ; 𝟏/ 𝒛 = (𝟏 /𝒓 ) 𝒆 ^−𝒊𝜽 .

(iii) 𝑧 ′ × 𝑧 = 𝑟𝑟 ′𝑒 ^{𝑖(𝜃+𝜑)} .

(iv) Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑧 ^𝑛 = 𝑟 ^𝑛𝒆 ^𝒊𝒏𝜽 .

(v) 𝑧′ /𝑧 = 𝑟′ /𝑟 𝒆 ^{𝒊(𝝋−𝜽)}

Remarque:

Ø Soit z un nombre complexe de module r et d’argument θ alors on peut aussi écrire:

z=[r,θ]

Ainsi, soient z=[r.θ] et z’=[r’,θ’]

· z.z’=[r.r’,θ+θ’]

· z/z’=[r/r’,θ-θ’]

· zⁿ=[rⁿ,nθ]

Nombres complexes et trigonométrie

Formule de MOIVRE

Soit 𝜃 ∈ ℝ 𝒆𝒕 pour tout 𝑛 ∈ ℤ .

On a :

(cos𝜃 + 𝑖 sin𝜃) ^𝑛 = cos(𝑛𝜃) + 𝑖 sin(𝑛𝜃).

On appelle cette propriété la formule de Moivre.

Formules d’EULER

Applications:

Rappels:

-Binôme de Newton: utile pour déterminer les coefficients binomiaux (exemple ci-dessus:1,-3,3,-1)

-Triangle de Pascal: utile pour déterminer les coefficients binomiaux

Resolution d’équations dans ℂ

Racines carrées d’un nombre complexe.

Définition

Soit un nombre complexe 𝑧₀, on appelle racine carrée du complexe, 𝑧₀ tout nombre complexe z tel que :

𝑧 ² = 𝑧₀

Méthode:

Soit un nombre complexe z=x+iy

On développe; z²=( x+iy)²=x²+y² -2ixy

Par identification, on a:

Exemple: Déterminons les racines carrées de:Ѵ3+i

Il suffit de déterminer un complexe z tel que z²= Ѵ3+i

On a:

On résout le système et on trouve :

=>

Racine n-ième d’un nombre complexe.

Définition

Soit un nombre complexe z₀ ≠ 0

𝑒𝑡 𝑛 ∈ ℕ 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒏 ≥ 𝟐 .

On appelle racine n-ième de tout nombre complexe 𝑧 tel que:

𝑧 ^𝑛 = z₀

Propriété 1

Soit z₀ = 𝑅𝑒 ^𝑖𝜃 ; les racines n-ième de z₀ sont:

𝑛 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 ∈ {0; 1; … ; n-1}.

Propriété 2

Les racines n-ième d’un nombre complexe sont les affixes des sommets d’un polygone régulier de n côtés inscrit dans un cercle de rayon .

Exemple: calculons les racines cubiques de l’unité

Il s’agit de trouver z tel que z³=1

Posons z=cosθ +isinθ

Z³= cos3θ +isin3θ
z³=1 <= > cos3θ +isin3θ=cos0 +isin0 =>

cos3θ=cos0 <= >

Donc:

Equations du second degré.

Propriété

Soit 𝑎, 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 sont des nombres complexes avec 𝑎 ≠ 0. Soit ∆= 𝑏 ² − 4𝑎𝑐. Si 𝛿 est une racine carrée de Δ, alors les solutions de l’équation 𝑎𝑧 ² + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 sont :

Méthode:

-On calcule le discriminant Δ

-on détermine les racines carrées de Δ suivant que Δ est réel ou non

-on calcule les solutions.

Exemple: soit a résoudre dans C l’équation z²+(2+3i)z-2(1-2i)=0

Δ=b²-4ac=(2+3i)²-4(1)(2(1-2i))=3-4i

Cherchons les racines carrées de 3-4i

On trouve les deux racines carrées du discriminant: (2-i) et –(2-i)

EXERCICES

EXERCICE I: Ecrire sous la forme algébrique les nombres complexes suivants:

a) z₁=(1+3i)-(2+i)

b) z₂=(Ѵ3 +2iѴ2i)-(3+iѴ2)

c) z₃=(Ѵ3 +2iѴ2)(3+iѴ2)

d) z₄=(1+3i)/(2+i)

EXERCICE II:

1. Ecrire sous la forme algébrique les nombres complexes suivants:

a) z₁=(8i-1)/(2-3i)

b) z₂=2i-5/i

c) z₃=(1+i)²/(2-i)²

d) z₄=(4-i)/(2+3i)-i/(3+i)

2. On donne les nombres complexes z₁ et z₂ tels que:

z₁=(5-i)/(3+2i) et z₂=(5+i)/(3-2i)

Calculer: z₁+z₂;

z₁-z₂ et conclure.

EXERCICE III:

1.Calculer les modules et les arguments des nombres complexes suivants:

a) z₁=1+i

b) z₂=Ѵ3 +i

c) z₃=1/3 +iѴ3/3

2.En déduire l’ecriture sous forme trigonométrique de z₁, z₂ et z₃

EXERCICE IV:

1.Calculer les modules et les arguments des nombres complexes suivants:

a) z₁=(Ѵ6 -iѴ2)/2

b) z₂=1- i

c) z₃=z₁/z₂

2.Deduire les valeurs exactes de cosπ/12 et sinπ/12

EXERCICE V: On donne les nombres complexes suivants:

z₁=-1-i

z₂=1/2 +iѴ3/2

1.Ecrire z₁/z₂ sous forme algébrique.

2.Ecrire z₁/z₂ sous forme trigonométrique.

3.Deduire de la question précédente les valeurs de cos11π/12 et sin11π/12.

EXERCICE VI

1. Calculer les racines carrées de

i, 3 − 4 i.

2. Résoudre les équations : z ² + z − 1 = 0,

et z²+z+(1-i)/4.

3. Résoudre l’équation

z ² + (i− Ѵ2)z − i Ѵ2 = 0,

puis l’équation Z ⁴ + (i− Ѵ 2)Z ² − i Ѵ2 = 0.

4. Montrer que si P(z) = z ² + bz + c possède pour racines z₁ , z₂ ∈ C alors z₁ + z₂ = −b et z₁ · z₂ = c.

5.Trouver les paires de nombres dont la somme vaut i et le produit 1.

EXERCICE VII:

1. Mettre les nombres suivants sont la forme exponentielle : 1 + i, Ѵ3 − i, 1/ (Ѵ 3−i) , ( Ѵ3 − i) ²⁰²⁸.

2. Calculer les racines 5-ième de i.

3. Calculer les racines carrées de

Ѵ3 /2 + i /2 de deux façons différentes.

En déduire les valeurs de cos π /12 et sin π /12 .

4. -Développer cos(4θ) ;

-linéariser cos⁵ θ ;

EXERCICE VIII:

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O ;⃗𝑢 ,⃗𝑣 ). Dans chaque cas, détermine et construis l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant la condition donnée :

a) |𝑧 − 2𝑖| = 3

b) |𝑧 − 1 + 𝑖| = |𝑧 + 1 + 3𝑖|.

c) |2𝑖𝑧 − 3 + 2𝑖| = |𝑧 − 2|.

d) arg(𝑧 − 1 − 𝑖) ≡ 𝜋 6 [2𝜋]

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CORRIGES

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