CORRIGES

EXERCICE I: Ecrire sous la forme algébrique les nombres complexes suivants:

a)z₁=(1+3i)-(2+i)=1-2+3i-i=-1+2i

b)z₂=(Ѵ3 +2Ѵ2i)-(3+Ѵ2i)= Ѵ3 -3+2Ѵ2i-Ѵ2i  = Ѵ3 -3+Ѵ2i 

c)z₃=(Ѵ3 +2iѴ2)(3+iѴ2)=3 Ѵ3+ Ѵ6i+6 Ѵ2i+4i²=(3 Ѵ3 -4)+i(Ѵ6+6 Ѵ2).       //  on fait i²=-1.

d)z₄=(1+3i)/(2+i)= =(1+3i)(2-i)/(2+i)(2-i)=2+6i-i-3i²/4+2i-2i-i²=5+5i/4-i²=1+i    //on multiple le numérateur et le dénominateur par expression conjuguée du dénominateur

EXERCICE II:

1. Ecrire sous la forme algébrique les nombres complexes suivants:

a)z₁=(8i-1)/(2-3i)= (8i-1) (2+3i)=/(2-3i) (2+3i)=(16i+24i²-2-3i)/(4-6i+6i-9i²=-26+13i/13=-2+i

 b)z₂=2i-5/i=(2i-5)i/i²=2+5i

 c)z₃=(1+i)²/(2-i)²==(1+i) (1+i)/(2-i) (2-i)=2i/3-4i=2i(3+4i)/(3-4i)(3+4i)=-8/25+6i/25

 d)z₄=(4-i)/(2+3i)-i/(3+i)= (4-i)(2-3i)/(2+3i)(2-3i)-i(3-i)/(3+i)(3-i)=5-14i/13 –(1+3i)/10=37/130-179i/130

2. On donne les nombres complexes z₁ et z₂ tels que: z₁=(5-i)/(3+2i) et z₂=(5+i)/(3-2i)

z₁+z₂=(5-i)/(3+2i)+ (5+i)/(3-2i)=2

z₁-z₂=(5-i)/(3+2i)- (5+i)/(3-2i)=-2i

et z₂ est le conjugue de z₁.

EXERCICE III:

1.Calculer les modules et les arguments des nombres complexes suivants:

a)z₁=1+i=>|1+i |=(1²+1²)^1/2=2^1/2=Ѵ2             //le nombre Ѵa peut aussi s’écrire a^1/2

=>θ=π/4

b)z₂=Ѵ3 +i =>| Ѵ3 +i |=(Ѵ3²+1²)^1/2=4^1/2=2

=>θ=π/6

c)z₃=1/3 +iѴ3/3=>|1/3 +iѴ3/3 |=(1/3²+Ѵ3/3²)^1/2=4/9^1/2=2/3

=>θ=π/3

2.En déduire l’ecriture sous forme trigonométrique de z₁, z₂ et z₃

a) |z₁|= Ѵ2  et θ=π/4  => z₁=Ѵ2(cosπ/4 +isinπ/4)

b) |z₂|= 2 et θ=π/6 =>      z₂=2(cosπ/6 +isinπ/6)

c) |z₃|= 2/3 et θ=π/3 =>   z₂=2/3(cosπ/3 +isinπ/3)

EXERCICE IV:

1.Calculer les modules et les arguments des nombres complexes suivants:

a) z₁=(Ѵ6 -iѴ2)/2

 |z1|=( Ѵ6/2²+ Ѵ2/2²)^1/2= Ѵ2

cosθ=(Ѵ6/2)/Ѵ2=Ѵ3/2

sinθ=(-Ѵ2/2)/Ѵ2=-1/2=>θ=-π/6

=>z₁=[Ѵ2,-π/6]

b) z₂=1- i

z₂=Ѵ2(1/Ѵ2 -i/Ѵ2)=[Ѵ2,-π/4]

c)z₃=z₁/z₂

z₃=z₁/z₂=[Ѵ2,-π/6]/ [Ѵ2,-π/4]=[1,π/12]  // car [r,θ] /[r’,θ’]=[r/r’, θ- θ’]

2.Deduire les valeurs exactes de cosπ/12 et sinπ/12

Sous forme algébrique:

Sous forme trigonométrique:

z₃=[1,π/12]= cosπ/12 +i sinπ/12

Par identification,

EXERCICE V: On donne les nombres complexes suivants:

Z₁= -1-i

Z₂=1/2 +iѴ3/2

1.Sous forme algébrique.

z₁/z₂ =(-1-i)/( 1/2 +iѴ3/2)=-2(1+i)/(1+iѴ3)=(-1-Ѵ3)/2 +(-1+Ѵ3)i/2

2. Sous forme trigonométrique.

)

3.Deduire de la question précédente les valeurs de cos11π/12 et sin11π/12.

Par identification

)=

EXERCICE VI

1.

· Racines carrées de −i,

      =>

· Racines carrées de 3 − 4 i.

                  =>  2-i et  = -(2-i)

2. Résoudre les équations :

· z ² + z − 1 = 0,

 Δ=(1)²-4(1)(-1)=5    // le discriminant donne un réel

z₁=(-1-Ѵ5)/2

z₂=(-1+Ѵ5)/2

· z²+z+(1-i)/4

Δ = i    // le discriminant donne un réel, il faut déterminer les racines carrées 𝛿 et - 𝛿

3. Résoudre l’équation :

· z ² + (i− Ѵ2)z − i Ѵ2 = 0,

Δ=(i− Ѵ2)²-4(1)(-iѴ2)=1+2Ѵ2i // le discriminant donne un réel, il faut déterminer les racines carrées 𝛿 et - 𝛿

=>  =Ѵ2 +i et  = -Ѵ2-i

Résoudre l’équation:

· Z ⁴ + (i− Ѵ 2)Z ² − i  Ѵ2 = 0.

On pose:Z=z² on retrouve la première équation

Z₁²= -i    =>1/Ѵ2 -1/Ѵ2i et -1/Ѵ2 +1/Ѵ2i

Z₂²= Ѵ2  =>- ѴѴ2 et +ѴѴ2

4. Montrer que si P(z) = z ² + bz + c possède pour racines z₁ , z₂ ∈ C alors z₁ + z₂ = −b et z₁ · z₂ = c.

Δ=b²-4ac=b²-4c

z₁=(-b-ѴΔ)/2 et z₂=(-b+ѴΔ)/2

z₁+z₂=(-b-ѴΔ)/2 +(-b+ѴΔ)/2=-2b/2= -b

z₁.z₂=(-b-ѴΔ)/2 x (-b+ѴΔ)/2= c

//en règle générale, lorsqu’une équation de la forme ax²+bx +c=0 admet deux racines x₁ et x₂, la somme des racines S=x₁+x₂ = -b/a et le produit P=x_1.x₂=c/a.

 On a donc ax²-Sx +P=0 (ici a=1.)

5.Trouver les paires de nombres dont la somme vaut i et le produit 1.

S=b=i et P=c=1  => ax²-Sx +P=0  <= > ax²-ix +1=0

Δ=b²-4c=i²-4(1)=-5=5i² =(iѴ5)²

z₁=(-i-iѴ5)/2

z₂=(-i+iѴ5)/2

EXERCICE VII:

1. Mettre les nombres suivants sont la forme exponentielle :

 1 + i,  Ѵ3 − i,  1/( Ѵ 3−i ), ( Ѵ3 − i) ²⁰²⁴.

·

^·

· e^iπ/6

^·

2. Calculer les racines 5-ième de i.

z⁵=i

 soit z=r(cosθ+isinθ)  =>z⁵=r⁵(cos5θ +sin5θ)

i=cosπ/2 +isinπ/2

r⁵(cos5θ +sin5θ)= cosπ/2 +isinπ/2

=>r=1 et cos5θ= cosπ/2

               sin5θ= sinπ/2

5θ=π/2 +2kπ =>θ=π/10 +2kπ/5, k ∈ Z

z_k=cos( π/10 +2kπ/5)+ isin (π/10 +2kπ/5), k ∈  Z

3. Calculer les racines carrées de Ѵ3 /2 + i /2 de deux façons différentes. En déduire les valeurs de cos π /12 et sin π /12 .

1ere Methode:

Ѵz=( e^iπ/6)^1/2= e^iπ/12= cos π /12 +isin π /12

2eme Methode:

| Ѵ3 /2 + i /2|=1

z²= Ѵ3 /2 + i /2

 =>

(x+y)²-2xy=1 =(x+y)²=1+1/2=3/2=>x+y=

(x-y)(x+y)=Ѵ3/2 < =>(x-y) =Ѵ3/2 =>x-y=

+

+

=> cos π /12= +

sin π /12=

4.

Ø cos4θ+isinθ=(cosθ+sinθ)ⁿ

= cos⁴θ+4cos³θ(isinθ)+6cos²θ(isinθ)²+4cosθ(isinθ)³+(isinθ)⁴

= cos⁴θ+4cos³θ(isinθ)-6cos²θsin²θ-icosθsin³θ+sin⁴θ

= cos⁴θ-6cos²θsin²θ +sin⁴θ+4i(cos³θsinθ- cosθsin³θ)

=> cos4θ= cos⁴θ-6cos²θsin²θ +sin⁴θ

               =1-8cos²θsin²θ

               =1+8cos2θ+8cos⁴θ

Ø cosθ=1/2(e^iθ+e^iθ)

cos⁵θ=1/2⁵(e^iθ+e^iθ)⁵

=1/2⁵(e^i5θ+ 5e^i4θ e^-iθ+ 10e^i3θ e^-i2θ+ 10e^i2θ e^-i3θ+ 5e^iθ e^-i4θ+ e-^i5θ)

= 1/2^5[(e^i5θ+ e-^i5θ)+5(e^i3θ+ e^-i3θ)+10(e^iθ+ e^-iθ)     

=1/2⁴(cos5θ +5cos3θ+10cosθ)

EXERCICE VIII:

a) |𝑧 − 2𝑖| = 3

L'équation complexe |z – 2i| = 3 représente un ensemble de points M du plan complexe.

Interprétation géométrique :

- z est l’affixe du point M.

- 2i est l’affixe du point A (donc A est à l’origine translatée vers le haut de 2 unités).

- L'équation signifie que la distance entre M et A est constante et vaut 3

b) |𝑧 − 1 + 𝑖| = |𝑧 + 1 + 3𝑖|.

L’équation |z – 1 + i| = |z + 1 + 3i| représente un lieu géométrique.

1. Écriture :

Soit z = x + iy, alors on remplace :

|z – 1 + i| = |z + 1 + 3i| 

⇔ |x + iy – 1 + i| = |x + iy + 1 + 3i| 

⇔ |(x – 1) + i(y + 1)| = |(x + 1) + i(y + 3)|

2. Modules :

√[(x – 1)² + (y + 1)²] = √[(x + 1)² + (y + 3)²]

On élève les deux membres au carré :

(x – 1)² + (y + 1)² = (x + 1)² + (y + 3)²

Développement :

- (x – 1)² = x² – 2x + 1 

- (y + 1)² = y² + 2y + 1 

- (x + 1)² = x² + 2x + 1 

- (y + 3)² = y² + 6y + 9

Donc :

x² – 2x + 1 + y² + 2y + 1 = x² + 2x + 1 + y² + 6y + 9

Simplification :

- x² et y² se simplifient

- Il reste : 

–2x + 2y + 2 = 2x + 6y + 10

Regroupons :

–4x – 4y = 8 

⇔ x + y = –2

Résultat :

L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant |z – 1 + i| = |z + 1 + 3i| est la droite d'équation x + y = –2

c) |2𝑖𝑧 − 3 + 2𝑖| = |𝑧 − 2|.

On cherche l’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant :

|2i·z – 3 + 2i| = |z – 2|

Étape 1 : Écriture en forme algébrique

Soit z = x + iy, alors :

- 2i·z = 2i(x + iy) = 2i·x – 2·y = –2y + 2ix

- Donc 2i·z – 3 + 2i = –2y – 3 + 2ix + 2i = –2y – 3 + 2i(x + 1)

Donc le module devient :

|2i·z – 3 + 2i| = |–2y – 3 + 2i(x + 1)| = √[(–2y – 3)² + (2x + 2)²]

Et |z – 2| = |(x – 2) + iy| = √[(x – 2)² + y²]

Étape 2 : Égalité des modules

On a :

√[(–2y – 3)² + (2x + 2)²] = √[(x – 2)² + y²]

On élève les deux membres au carré :

(–2y – 3)² + (2x + 2)² = (x – 2)² + y²

Développons chaque côté :

Gauche :

- (–2y – 3)² = 4y² + 12y + 9

- (2x + 2)² = 4x² + 8x + 4

→ Gauche = 4x² + 8x + 4 + 4y² + 12y + 9 = 4x² + 4y² + 8x + 12y + 13

Droite :

- (x – 2)² = x² – 4x + 4

- y²

→ Droite = x² – 4x + 4 + y² = x² + y² – 4x + 4

Étape 3 : Mettre tout à gauche

(4x² + 4y² + 8x + 12y + 13) – (x² + y² – 4x + 4) = 0

→ 3x² + 3y² + 12x + 12y + 9 = 0

On peut simplifier par 3 :

→ x² + y² + 4x + 4y + 3 = 0

Résultat : lieu géométrique

On regroupe :

- x² + 4x + y² + 4y = –3

On complète les carrés :

- x² + 4x = (x + 2)² – 4

- y² + 4y = (y + 2)² – 4

Donc :

(x + 2)² + (y + 2)² – 8 = –3 → (x + 2)² + (y + 2)² = 5

d) arg(𝑧 − 1 − 𝑖) ≡ 𝜋/ 6 [2𝜋]

On cherche l’ensemble des points M d’affixe z tels que :

arg(z − 1 − i) ≡ π/6 [2π]

Interprétation géométrique :

- Cela signifie que le vecteur OM′, avec M′ d’affixe z − (1 + i), forme un angle π/6 avec l’axe réel positif.

- Donc, M est un point tel que le vecteur (z − 1 − i) a un argument égal à π/6 modulo 2π.

Autrement dit, z – (1 + i) est un vecteur de direction π/6.

Conclusion (lieu géométrique) :

L’ensemble des points M d’affixe z est une demi-droite :

- d’origine A(1, 1) (car on a z – 1 – i),

- de direction faisant un angle de π/6 avec l’axe des abscisses, soit pente tan(π/6) = 1/√3.

On peut aussi l’écrire sous forme paramétrique :

z = 1 + i + r·e^{iπ/6} avec r ∈ ℝ⁺*.

Donc, le lieu est la demi-droite partant de A(1, 1) dans la direction π/6