CALCUL INTEGRAL

Définition

Soient f une fonction définie sur un intervalle [a, b] et F une primitive de f. Le nombre F(b)-F(a) est indépendant de la primitive choisie. On dit que c’est l’intégrale de la fonction f, définie entre les valeurs a et b et on note :

F(a)-F(b)=

Interprétation graphique de l’intégrale.

Soient f une fonction continue et positive sur et (C_f) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (O,I,J).

Alors:

est l’aire, en unité d’aire du domaine limité par les droites x=a, x=b, la courbe et l’axe des abscisses.
L’unité d’aire (u.a.) est l’aire du rectangle de dimension respectives OI et OJ

On appelle valeur moyenne de f sur [a, b] le nombre réel tel que:

Propriétés des intégrales.

Soient α ,β deux réels, f et g deux fonctions continues sur un intervalle
de I de IR, a et b (a ≤ b), deux éléments de I, alors :

Parité

Soit une fonction continue sur un intervalle K symétrique par rapport à 0.

Pour tout a, élément de K on a:

· Si f est paire,

· Si f est impaire,

Intégration par parties

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle K telles que les dérivées u’ et v’ sont continues sur K, a et b deux éléments de K.

Changement de variable

Pour calculer l’intégrale,

On peut:

· Faire un changement de variable

, l’intégrale devient:

· Utiliser l’égalité:

Calcul d’aires

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,I,J), f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle [a,b ]

1) L’unité d’aire (u.a.) est l’aire du rectangle de dimension respectives OI et OJ
2) si f ≤ gsur [a,b ] (la courbe de 𝑓 est au
dessous de celle de 𝑔 sur [𝑎, 𝑏] ) alors l’aire de
la portion du plan délimitée par les
droites 𝑥 =𝑎 et 𝑥= 𝑏, les courbes
respectives des fonctions 𝑓 et 𝑔 est:

3) Si 𝑓 est négative sur [𝑎 𝑏] (la courbe
de 𝑓 est au-dessous de l’axe des
abscisses [𝑎 𝑏]) alors l’aire de la
portion du plan délimitée par les
droites 𝑥 =𝑎 et 𝑥= 𝑏, la courbe de la
fonctions 𝑓 est:

Calcul de volume

On considère un cylindre droit dont d’axe (OK), dont les bases sont contenues dans deux plans parallèles au plan (OJ) et ayant respectivement pour équation: z=a et z=b (a<b)

B est l’aire de la base

V est le volume

S application: [a;b]→IR

z→S(z)dz, S(z) étant l’aire de la section du cylindre avec un plan parallèle a (OIJ) et du cote z.

On a:

S(z)=B

On obtient: