INEQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

EXERCICE I : Résoudre dans R, chacune des inéquations suivantes :
a) 3x² - 6x + 3 < 0,

b) -x² + 3x + 4 ≤ 0

c) 5x² - x -4 < 0

EXERCICE II: Résoudre dans R, chacune des inéquations suivantes :

a) ≥ 3
b) < x + 10,

c) 3 – x

d)

e)

EXERCICE III:

1.Resoudre dans R l’inéquation : x²-194x+384<0
2.Dans un magasin de paris, love bénéficie toujours d’une remise de x% (x<10). En décembre, le magasin lui accorde une remise exceptionnelle de (x+6)% en plus de celle dont elle bénéficie habituellement. Love veut acheter un téléviseur de 100000F. Dans quel intervalle se situe la remise habituelle faite a Love, si elle paie moins de 90160F.

EXERCICE IV:

On considère l’inéquation (I) : x³ + 4002x² - 4992000x - 10000000 ≥ 0 et le polynôme p(x) défini par
p(x) = x³ + 4002x² - 4992000x - 10000000
1. Montrer que p(x) = (x - 1000) (x + 5000) (x + 2).
2. Dresser le tableau de signe du polynôme p ; puis en déduire dans R l’ensemble solution de (I).
3. Une entreprise produit des voitures qu’elle commercialise. Le coût de fabrication (en milliers de FCFA) d’une voiture est de 5 millions de FCFA. Cet entreprise produit x voitures et la fonction qui modélise les prévisions pour la vente de ces x voitures est donnée par Pv(x) = x³+4002x²+8000x-10000000. On s’intéresse au bénéfice, c’est-à-dire à la différence entre la recette et le coût de fabrication. Lorsque cette différence est strictement positive, on dit que la production est rentable. Déterminer la quantité de voitures à produire pour que la production soit rentable.

Solution :

EXERCICE I : Résoudre dans R, chacune des inéquations suivantes :
a) 3x² - 6x + 3 < 0

Δ=(-6)² -4(3)(3)=64-36=0 =>x=-=1

3x² - 6x + 3=(x-1)² on a un carre parfait donc toujours positif =>S=

b) -x² + 3x + 4 ≤ 0,

Δ=(-3)² -4(1)(-4)=9+16=25 =>x₁= =4 et x₂ =-=-1

x	-∞ -1 4 + ∞
-x^2 + 3x + 4	-	+	-

=> S=]- ∞; -1][4 ; ∞[

c) 5x² - x - 4 < 0

Δ=(-1)² -4(5)(-4)=1+80=81 =>x₁== et x₂ = =

x	-∞ + ∞
5x^2 - x - 4	+	-	+

=> S= ];

EXERCICE II: Résoudre dans R, chacune des inéquations suivantes :

a) ≥ 3

contrainte: x-2≥0 =>x≥2

x-2 ≥ 9 =>x≥11 =>S=[11; + ∞[
b) < x + 10

contraintes: 2-x ≥ 0 =>x

x + 10≥0 =>x≥-10

2-x(x+10)² óx² +21x +98 =>x-14 et x-7

=>S=]-7 ;2[

c) 3 – x

contraintes: x-1 ≥ 0 =>x

3- x ≥0 =>x3

x(3-x)² óx² -7x +10

Δ=(-7)² -4(1)(10)=49-40=9 =>x∈[2 ;5]

=>S=[2 ;3]

d) contrainte: 1

<=>2(x-1)<3 <=>x< => S=]1 ; ]

NB : Pour résoudre une inéquation rationnelle, il est préférable de s’aider d’un graphique. De plus il est primordial de déterminer les asymptotes.

· Représenter la courbe y₁=

· Représenter la courbe y₂=

· Prendre l’intervalle dans lequel y₁ est au-dessus de y₂

e)

Par la méthode graphique, y₁=

on trouve : S=]-3 ;2[

EXERCICE III:

1.S=

2.Prix initial=100000F

Remise 1 :100000()=1000x

Nouveau prix :100000-1000x

Remise 2 :( 100000-1000x)( )=940x+6000-10x²

Prix final : 100000-1000x-(940x+6000-10x²)= 10x² -1940x+94000

Or le prix final est inferieur a 90160 d’où l’inéquation :

10x² -1940x+94000<90160 óx² -194x+384<0

D’apres la question 1, on a : x∈x<10 d’où l’intervalle cherche est .

EXERCICE IV :
1. Montrons que p(x) = (x - 1000)(x + 5000)(x + 2).
On a
(x - 1000)(x + 5000)(x + 2) = (x - 1000)(x2 + 5002x + 10000)
= x³ + 5002x² + 10000x - 1000x² - 5002000x - 10000000
= x³ + 4002x² - 4992000x - 10000000
= p(x)

2. Tableau de signe du polynôme p(x).

On a p(x) = 0 () x = -5000 ou x = -2 ou x = 1000. Ainsi le tableau de signe de p(x) est le suivant :

x	-∞. – 5000. - 2 1000 + ∞
x - 1000	. - | - | - 0. +
x + 5000	. - 0 +. |. + | +
x + 2	. - | - 0 + |. +
p(x)	. - 0 + 0. - 0. +

L’inéquation p(x) ≥ 0 a pour ensemble solution S = [-5000 ; -2] ᴜ[1000; +∞ [.
3. Solution de la situation problème. Le coût de fabrication (en milliers de FCFA) de x voitures est modélisé par la fonction par cp(x) = 5000000x et le prix de vente de x voitures est donnée par pv(x) = x³ + 4002x² +8000x + 10000000. Pour que la production soit rentable, il faut que l’inéquation pv(x) - cp(x) ≥ 0. Ainsi on a l’inéquation x³ + 4002x² - 4992000x - 10000000 > 0. Ainsi, la production sera rentable lorsque cette entreprise produira plus de 1000 voitures.