CORRIGES

EXERCICE I : Résoudre dans R, chacune des inéquations suivantes :
a) 3x² - 6x + 3 < 0

Δ=(-6)² -4(3)(3)=64-36=0 =>x=1

3x² - 6x + 3=(x-1)² on a un carré parfait donc toujours positif =>S=Փ

b) -x² + 3x + 4 ≤ 0,

Δ=(-3)² -4(1)(-4)=9+16=25 =>x₁=4 et x₂ =-1

x	-∞                           -1                            4                    + ∞
-x^2 + 3x + 4	-	+	-

=> S=]- ∞; -1] U [4 ; ∞[

c) 5x² - x - 4 < 0

Δ=(-1)² -4(5)(-4)=1+80=81 =>x₁=-2/5 et x₂ = 3/5

x	-∞  + ∞
5x^2 - x - 4	+	-	+

=> S=]-2/5,3/5[

EXERCICE II: Résoudre dans R, chacune des inéquations suivantes :

a)

Contrainte : x-2≥0 =>x≥2

x-2 ≥ 9  =>x≥11  =>S=[11; + ∞[

b)

Contraintes :  2-x ≥ 0 =>x

                    x + 10≥0 =>x≥-10

2-x≤(x+10)²   <=> x² +21x +98  =>x-14 et x-7

=>S=]-7 ;2[

c)

contraintes:  x-1 ≥ 0 =>x

                   3- x ≥0 =>x3

x-1≥ (3-x)²   <=>x² -7x +10≤0

Δ=(-7)² -4(1)(10)=49-40=9 =>x∈[2 ;5]

    =>S=[2 ;3]

d) contrainte: x#1

3/(x-1) ≥6-4 <=>2(x-1)<3 <=>x<5/2  => S=]1 ;5/2 ]

NB : Pour résoudre une inéquation rationnelle, il est préférable de s’aider d’un graphique. De plus il est primordial de déterminer les asymptotes.

· Représenter la courbe

· Représenter la courbe

· Prendre l’intervalle dans lequel y₁ est au-dessus de y₂

e)

Par la méthode graphique,

On trouve : S=]-3 ;2[U]4,+∞[

EXERCICE III:

1.S= ]2,192[

2.Prix initial=100000F

Remise 1 :100000(x/100)=1000x

Nouveau prix :100000-1000x

Remise 2 :

( 100000-1000x)((x+6)/100)=940x+6000-10x²

Prix final : 100000-1000x-(940x+6000-10x²)

= 10x² -1940x+94000

Or le prix final est inferieur a 90160 d’où l’inéquation :

10x² -1940x+94000<90160

<=>x² -194x+384<0

D’apres la question 1, on a : x∈ ]2,192[ or  x<10 d’où l’intervalle cherche est .

EXERCICE IV :
1. Montrons que

p(x) = (x - 1000)(x + 5000)(x + 2).
On a
(x - 1000)(x + 5000)(x + 2)

= (x - 1000)(x2 + 5002x + 10000)
= x³ + 5002x² + 10000x - 1000x² - 5002000x - 10000000
= x³ + 4002x² - 4992000x - 10000000
= p(x)

2. Tableau de signe du polynôme p(x).

On a p(x) = 0 () x = -5000 ou x = -2 ou x = 1000.

Ainsi le tableau de signe de p(x) est le suivant :

x	-∞.                          – 5000.              - 2            1000                   + ∞
x - 1000	.    -                                  |           -       |      -         0.            +
x + 5000	.    -                                 0           +.     |.     +         |             +
x + 2	.    -                                  |           -       0    +          |.            +
p(x)	.    -                                 0          +       0.    -          0.           +

L’inéquation p(x) ≥ 0 a pour ensemble solution S = [-5000 ; -2] ᴜ [1000; (+∞ [.
3. Solution de la situation problème. Le coût de fabrication (en milliers de FCFA) de x voitures est modélisé par la fonction par cp(x) = 5000000x et le prix de vente de x voitures est donnée par pv(x) = x³ + 4002x² +8000x + 10000000. Pour que la production soit rentable, il faut que l’inéquation pv(x) - cp(x) ≥ 0. Ainsi on a l’inéquation x³ + 4002x² - 4992000x - 10000000 > 0. Ainsi, la production sera rentable lorsque cette entreprise produira plus de 1000 voitures.