ÉQUATIONS DE SECOND DEGRE

Définition:

a)On appelle polynôme ou trinôme du second degré tout polynôme p de la forme p(x) = ax² + bx + c, avec a, b et c IR, a≠0.

b)On appelle équation du second degré, toute équation de la forme ax² + bx + c = 0 avec a, b et c ε IR, a≠0.

Résoudre une équation du second degré

Utiliser la forme canonique :
. La forme canonique du trinôme du second degré p(x) = ax²+bx+c est donnée par :

avec ∆ = b² - 4ac.

On appelle discriminant du polynôme p, le réel ∆ défini par Δ=b²-4ac

De cette forme canonique, on a :
1. Si ∆ < 0, alors l’équation p(x) = 0 n’admet pas de solution dans IR.
2. Si ∆ = 0, alors l’équation p(x) = 0 admet une solution double qui est

x₁= x₂= -b/2a

3. Si ∆ > 0, alors l’équation p(x) = 0 admet deux solutions distinctes qui sont

x₁= (-b-Ѵ∆ )/2a et (-b +Ѵ∆ )/2a

Forme factorisée:

La forme factorisée du polynôme associé à l’équation (E) est:

p(x)=a(x-x₁)(x-x₂)

Exemple: Donner la forme canonique de p(x) = x² + 6x - 216 puis donne sa forme factorisée

Solution: La forme canonique du polynôme p(x) est:

Par identification, a=1, b=6 c=-216

∆ = 6² - 4(1)(-216)=900

p(x)= [(x+6/2)² -900/4]

= (x + 3)²– 225

Pour trouver la forme factorisée, on peut utiliser l’identité remarquable

a²-b²=(a-b)(a+b).

(x + 3)²– 225 =[(x+3)-15][(x+3)+15]

=(x-12)(x+18)
Forme factorisée: p(x) = (x + 18)(x - 12)

Pour déterminer les solutions de p(x), on pose p(x)=0

(x + 18)(x - 12)=0 =>x₁=-18 et x₂=12

Utiliser le discriminant
Pour résoudre une équation du second degré dans IR (E) :

ax² + bx + c = 0 en utilisant le discriminant, on calcule
le discriminant:

∆ = b² - 4ac et on a :
1. Si ∆ < 0, alors l’équation (E) n’admet pas de solution réelle, son ensemble solution estvide: S={ }

Le polynôme associé à l’équation (E) n’est pas factorisable.
2. Si ∆ = 0, alors l’équation (E) admet une solution réelle double:

x₁=x₂ = - b/2a
son ensemble solution est S= {- b/2a }

et la forme factorisée du polynôme associé à l’équation (E) est:

p(x)= a(x+b/2a)²

3. Si ∆ > 0, alors l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes:

x₁= (-b-Ѵ∆) /2a et (-b +Ѵ∆) /2a
Son ensemble solution est S = {(-b-Ѵ∆ \) /2a, (-b +Ѵ∆) /2a}

et la forme factorisée du polynôme associé à l’équation (E) est:

p(x)=a(x-x₁)(x-x₂)

Remarque :
➠ Lorsque le coefficient b est pair ou contient en évidence le facteur 2, on peut poser: b’=b/2.
et calculer le discriminant réduit du polynôme ax² + bx + c.

Trois cas de figure se présentent :
1. Si Δ’< 0, alors l’équation (E) n’admet pas de solution réelle, son ensemble solution est vide et le polynôme associé à l’équation (E) n’est pas factorisable.

2. Si Δ’= 0, alors l’équation (E) admet une solution réelle double, son ensemble solution est: S=-b’/2

et la forme factorisée du polynôme associé à l’équation (E) est p(x)= a(x+b’/a)²
3. Si Δ’> 0, alors l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes :

x₁= (-b’-Ѵ∆’) /a et (-b’ +Ѵ∆’) /a

Exemple: Résoudre dans IR: x²+2x-3=0

Solution:

∆=(2)²-4(1)(-3)=4+12=16

x₁= (-2-Ѵ16)/2= -3

x₂= (-2+Ѵ16)/2= 1

S= {-3,1}

Somme et produit des racines du trinôme du second degré.

Lorsque l’équation du second degré ax²+bx+c = 0 a des solutions distinctes ou confondues
x₁et x₂, leur somme x₁ + x₂ = -b/a
et leur produit x₁ × x₂ = c/a
.
2. Si deux nombres x₁ et x₂ ont pour somme S et pour produit P ces nombres sont des solutions
de l’équation : X² - SX + P = 0 à condition que S² - 4P ≥ 0.

Remarque: Une équation du second degré possède :
1. Deux solutions de signes contraires lorsque P < 0,
2. Deux solutions positives lorsque ∆ > 0, S > 0 et P > 0,
3. Deux solutions négatives lorsque ∆ > 0, S < 0 et P > 0

Exemple : Résoudre dans IR:

Solution: S = -2 et P = -3 on sait que X² - SX + P = 0

Il s’agit de résoudre: x²+2x-3=0

∆=(2)²-4(1)(-3)=4+12=16

x₁= (-2-Ѵ16)/2=-3

x₂= 1(-2+Ѵ16)/2=1

S={-3,1}

Equations paramétriques
Pour résoudre l’équation de la forme ax² + bx + c = 0 (où c dépend d’un paramètre réel m), On calcule le
discriminant ∆m et la résolution d’une telle équation passe par l’étude du signe du discriminant ∆m.

Exemple:

Soit m un paramètre réel. Résoudre et discuter suivant les valeurs de m l’équation (Em) :

-x² + 4x + 1 - m = 0

Solution:

∆= (4)²-4(-1) (1-m) = 20-4m

· ∆<0 20-4m<0 < = > m>5. =>. Pas de solution dans IR

· ∆=0. 20-4m=0 < = > m=0. => Solution double

x₀= -4/2(-1) =2

· ∆>0 20-4m>0 < = > m<5 => Deux solutions distinctes.

Équations irrationnelles

On appelle équation irrationnelle, toute équation possédant un radical c.-à-d. qui comporte le symbole Ѵ. Pour résoudre une équation irrationnelle, on commence par déterminer la/les contrainte(s) et sous ces contraintes, on détermine la (ou les) solution(s) qui satisfont la contrainte. f(x) et g(x) étant deux fonctions

On élève les deux membres au carre, l’’équation devient :

f(x)=k²

Exemple: Résoudre dans IR:

. =>

Résoudre cette équation se réduit à résoudre le système :

Exemple: résoudre dans IR:

S={4} //la réponse x= 0 est exclue car 0 est plutôt inferieure a 1

Résoudre cette équation se réduit à résoudre le système :

Exemple : résoudre dans IR:

S={-1,2}

Equations de degré supérieur ou égal à 3.

Le programme est le suivant :
1. Déterminer une racine évidente α du polynôme P (x).
2. Trouver un polynôme q(x) de degré 2 tel que p(x) = (x - α) q(x).
3. Résoudre les équations x - α = 0 et q(x) = 0 puis déduire les solutions

Exemple: Résoudre dans IR: 2x³+5x²-14x-8=0

Il faut d’abord chercher une racine évidente (…, -2,-1,0,1, 2…), ensuite choisir une des méthodes suivantes:

1^ère méthode: Utiliser la division euclidienne

2x^3.+ 5x^2.-14x - 8.

-(2x³-4x²)

+9x²-14x.

-(9x²-18x)

+4x-8

-4x+8

x-2

2x²+9x+4

=>2x³+5x²-14x-8=(x-2)( 2x²+9x+4),

On peut continuer par la méthode classique pour résoudre 2x²+9x+4.

∆ =(9)²-4(2)(4)=81-32=49

x₁=(-9-7)/4=-4

x₂=(-9+7)/4=-1/2

Finalement, 2x³+5x²-14x-8=(x-2)( 2x²+9x+4)=2(x-2)(x+1/2)(x+4)=(x-2)(2x+1)(x+4)=0

S= {-4,-1,2}

2ème méthode :

Déterminer les coefficients a, b et c tels que: 2x³+5x²-14x-8=(x-2)(ax²+bx+c)

2x³+5x²-14x-8=ax³-2ax²+bx²-2bx+cx-2c

=ax³-(2a-b)x²-(2b-c)x-2c

Par identification, on a:

D’où 2x³+5x²-14x-8=(x-2)( 2x²+9x+4)

∆ =(9)²-4(2)(4)=81-32=49

x₁=(-9-7)/4=-4

x₂=(-9+7)/4=-1/2

Finalement, 2x³+5x²-14x-8=(x-2)( 2x²+9x+4)=2(x-2)(x+1/2)(x+4)=(x-2)(2x+1)(x+4)=0

S= {-4,-1,2}

Équation bicarrée

On utilise des inconnues auxiliaires, soit en posant X=x²ou t=x²

Exemple : Résoudre dans IR: x⁴+7x²-18=0 (équation bicarrée)

On pose X=x², l’équation devient X²+7X-18=0

∆ =(7)²-4(1)(-18)=121

X₁=(-7-11)/2 =-9

X₂=(-7+11)/2 = 2

On sait que

X₁=x²=-9 solution impossible car le carré ne peut pas être négatif

X₁=x²=2 => x=-Ѵ2 et x=+Ѵ2 => S={-Ѵ2,+Ѵ2}

EXERCICES

EXERCICE I:

1.a) Montrer que le trinôme:

f(x)=2x² + 3x +1 peut se mettre sous la forme

]

b) Comment appelle-t-on cette forme?

2) Déduire de l’expression de 1-b) les solutions de l’équation f(x)=0.

On rappelle l’identité remarquable :

a²-b²= (a-b)(a+b).

3- Soit le polynôme de second degré P(x)=4x²-12x-7

a- Donner l’expression de la forme canonique de p(x)

b- Utiliser cette forme canonique pour trouver l’expression factorisée de p(x)

c- En déduire les solutions de l’équation p(x)=0.

EXERCICE II: Résoudre dans IR, chacune des équations suivantes et donner la forme factorisée des polynômes associés à chacune de ces équations.

a) -2x²- Ѵ5x + 2 = 0,

b) 3x² - 6x + 3 = 0,

c) 6x² - 5x + 7 = 0.
d) -x² + |x|+ 2 = 0,

e) (x - 10)² - (x - 10) - 2 = 0.

f) .

i) x - 5Ѵx - 6 = 0

EXERCICE III:

1. Soit m un paramètre réel.

Discuter et résoudre suivant les valeurs de m l’équation (Em) :

-x² + 4x + 1 - m = 0
2. Soit m un paramètre réel.

On considère l’équation d’inconnue x :(Em) :

2x² + m - x + 2 = 0
Discuter et résoudre suivant les valeurs de m, le nombre et le signe des solutions de (Em)

EXERCICE IV:

1. On donne les polynômes

p(x) = x³ - x² + x + 3 et q(x) = 2x³ + 5x² - 14x - 8
1.1. Vérifier que -1 est une racine évidente de p(x).

Vérifier que 2 est une racine évidente de p(x).

1.2. Déterminer les autres racines de p(x) et de q(x).

2. Résoudre dans IR, l’équation:

2x⁴ + 9x³ + 6x² + 9x + 4 = 0 (on pourra remarquer que -4 est une solution de cette équation).

EXERCICE V:

1. a) Résoudre dans IR:

t⁴ -169t² +3600 =0

b) En déduire les solutions du système:

2. Résoudre dans IR:

a) -3 x⁴ -6x² +24=0

b) x⁴ -13x² +36=0

3.Resoudre dans IR: x⁴-x³-13x²+x+12=0

EXERCICE VI:

1.Mme Ouattara a acheté un certain nombre de pièces de tissu pour 43200frs. Si pour la même somme, elle avait eu 2 pièces de moins, la pièce lui aurait couté 300frs de plus. Déterminer le nombre de pièces achetées et le prix d’une pièce.

2. Un commerçant achète n actions dans une banque A à 600000 Fcfa. Dans une autre banque B
il aurait pu acheter avec la même somme 100 actions en moins mais chaque action se verrait alors augmenter de
3000Fcfa. Déterminer le nombre d’actions vendues et le prix d’une action

3. De tous les rectangles d’aires 100 m², quel est celui qui a le plus petit périmètre?

4. Les élèves du Lycée classique de Bafoussam organise une excursion. Pour cela, ils louent un car à120000f. Au moment du départ ,4 nouveaux élèves s’ajoutent et chacun des partants doit alors payer 100f de moins.

Déterminer le nombre d’élèves qui participent à l’excursion et la somme que chacun doit payer.

EXERCICE VII:

1. Une marchandise qui coutait 51840 FCFA subit deux réductions de x% puis est vendue au prix de 36000 FCFA. Déterminer la valeur de x.
2. Une usine de traitement de cacao, permet de produire 7500 tonnes l’année de son ouverture qui est à sa 1^ère année de fonctionnement. Par suite de modernisation de son matériel, elle augmente sa production de 1200 tonnes chaque année. Cette production se poursuivra ainsi jusqu’à ce qu’elle atteigne une production maximale de 18300 tonnes.

La dépense D(x) où x désigne le nombre de jours est donnée par

D(x)= -(1/2) x³+200x² - 3000x.

1-Après combien d’année, la production maximale sera atteinte?

2-Pour quelle valeur de x, le chef d’usine dépense-t-il minimum d’argent pour son travail?

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