ÉQUATIONS DE SECOND DEGRE

Définitions:

· On appelle polynôme ou trinôme du second degré tout polynôme p de la forme p(x) = ax² + bx + c, avec a, b et c IR, a

Exemple: p(x) = 3x² + 5x + c

· On appelle équation du second degré, toute équation de la forme ax² + bx + c = 0 avec a, b et c ε IR, a

 Résoudre une équation du second degré dans IR revient à déterminer les valeurs pouvant être prises par l’inconnue x et de les regrouper dans un ensemble appelé ensemble solution et généralement noté S.

Propriété
.        La forme canonique du trinôme du second degré p(x) = ax²+bx+c est donnée par :

p(x)=

avec ∆ = b² - 4ac.

On appelle discriminant du polynôme p, le réel ∆ défini par Δ=b²-4ac

De cette forme canonique, on a :
1. Si ∆ < 0, alors l’équation p(x) = 0 n’admet pas de solution dans IR.
2. Si ∆ = 0, alors l’équation p(x) = 0 admet une solution double qui est

3. Si ∆ > 0, alors l’équation p(x) = 0 admet deux solutions distinctes qui sont

La forme factorisée du polynôme associé à l’équation (E) est:

p(x)=a(x-x₁)(x-x₂)

Exemple: Donner la forme canonique de p(x) = x² + 6x - 216 puis donne sa forme factorisée

Solution: La forme canonique du polynôme p(x) est:

Par identification, a=1, b=6    c=-216

∆ = 6² - 4(1)(-216)=900

p(x)= [(x+6/2)² -900/4]

= (x + 3)² – 225

Pour trouver la forme factorisée, on peut utiliser l’identité remarquable

a²-b²=(a-b)(a+b) .

  (x + 3)² – 225  =[(x+3)-15][(x+3)+15]

                          =(x-12)(x+18)

 Forme factorisée: p(x) = (x + 18)(x - 12)

METHODE :
             Pour résoudre une équation du second degré dans R (E) :

ax² + bx + c = 0 en utilisant le discriminant, on calcule
le discriminant:

∆ = b² - 4ac et on a :
1. Si ∆ < 0, alors l’équation (E) n’admet pas de solution réelle, son ensemble solution estvide: S={ }

 Le polynôme associé à l’équation (E) n’est pas factorisable.
2. Si ∆ = 0, alors l’équation (E) admet une solution réelle double:

son ensemble solution est S= {- b/2a }

et la forme factorisée du polynôme associé à l’équation (E) est:

)²

3. Si ∆ > 0, alors l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes:

Son ensemble solution est:

et la forme factorisée du polynôme associé à l’équation (E) est:

p(x)=a(x-x₁)(x-x₂)

Exemple:

Résoudre dans IR: x²+2x-3=0

Solution:

∆=(2)²-4(1)(-3)=4+12=16

x₁= (-2-Ѵ16)/2= -3

x₂= (-2+Ѵ16)/2= 1

S= {-3,1}

Remarque :
Lorsque le coefficient b est pair ou contient en évidence le facteur 2, on peut poser: b’=b/2.
et calculer le discriminant réduit Δ’=b’²-ac du polynôme ax² + bx + c.

Trois cas de figures se présentent :
1. Si Δ’< 0, alors l’équation (E) n’admet pas de solution réelle, son ensemble solution est vide et le polynôme associé à l’équation (E) n’est pas factorisable.

2. Si Δ’= 0, alors l’équation (E) admet une solution réelle double, son ensemble solution est:S=-b’/2

et la forme factorisée du polynôme associé à l’équation (E) est:

)²

3. Si Δ’> 0, alors l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes:

Somme et produit des racines du trinôme du second degré.

1.Lorsque l’équation du second degré ax²+bx+c = 0 a des solutions distinctes ou confondues
x₁ et x₂, leur somme:

et leur produit;

2. Si deux nombres x₁ et x₂ ont pour somme S et pour produit P ces nombres sont des solutions
de l’équation :

X² - SX + P = 0 à condition que S² - 4P ≥ 0.

Remarque: Une équation du second degré possède :
1. Deux solutions de signes contraires lorsque P < 0,
2. Deux solutions positives lorsque ∆ > 0, S > 0 et P > 0,
3. Deux solutions négatives lorsque ∆ > 0, S < 0 et P > 0

Exemple: Résoudre dans IR:

Solution: Il s’agit de résoudre:x²+2x-3=0 avec S=-2 et P=-3

∆=(2)²-4(1)(-3)=4+12=16

x₁= (-2-Ѵ16)/2=-3

x₂= 1(-2+Ѵ16)/2=1

S={-3,1}

Equations paramétriques

             Pour résoudre l’équation de la forme ax² + bx + c = 0 (où c dépend d’un paramètre réel m), On calcule le
discriminant ∆m et la résolution d’une telle équation passe par l’étude du signe du discriminant ∆m.

Exemple:

Soit m un paramètre réel. Résoudre et discuter suivant les valeurs de m l’équation (Em) :

-x² + 4x + 1 - m = 0

Solution:

∆= (4)²-4(-1) (1-m) = 20-4m

· ∆<0         20-4m<0  < = > m>5.    =>.  Pas de solution dans IR

· ∆=0.         20-4m=0 < = > m=0.     => Solution double

                       x₀ = -4/2(-1) =2

· ∆>0           20-4m>0 < = > m<5     => Deux solutions distinctes.

Équations irrationnelles

1. On appelle équation irrationnelle, toute équation possédant un radical (qui comporte le symbole Ѵ). Dans cette leçon, on se limitera aux équations de la forme:

où a, b, c et d sont des réels.

2. Pour résoudre une équation irrationnelle, on commence par déterminer la/les contrainte(s) et sous ces contraintes
on détermine la (ou les) solution(s) qui satisfont la contrainte.
3. Soit à résoudre l’équation:

, elle se réduit au système :

Remarque: La contrainte est indispensable lorsqu’il s’agit de résoudre une équation irrationnelle

Exemple:

Solution: Il s’agit de résoudre

.     =>

Equations de degré supérieur ou égal à 3.

Le programme suivant :
1. Déterminer une racine évidente α du polynôme P (x).
2. Trouver un polynôme q(x) de degré 2 tel que p(x) = (x - α) q(x).
3. Résoudre les équations x - α = 0 et q(x) = 0 puis déduire les solutions

Exemple1: Résoudre dans IR:

2x³+5x²-14x-8=0

Il faut d’abord chercher une racine évidente (…, -2,-1,0,1, 2…), ensuite choisir une des méthodes suivantes:

1^ère méthode: Division euclidienne

2x^3.+ 5x^2.-14x-8.           -(2x^3-4x^2)       +9x^2-14x.                       -(9x^2-18x)              +4x-8               -4x+8                        0

x-2      2x^2+9x+4

=>2x³+5x²-14x-8=(x-2)( 2x²+9x+4)

2ème méthode: Déterminer les coefficients a, b et c tels que:

2x³+5x²-14x-8=(x-2)(ax²+bx+c)

2x³+5x²-14x-8=ax³-2ax²+bx²-2bx+cx-2c

=ax³-(2a-b)x²-(2b-c)x-2c

Par identification, on a:

=>

D’où 2x³+5x²-14x-8=(x-2)( 2x²+9x+4)

∆ =(9)²-4(2)(4)=81-32=49

x₁=(-9-7)/4=-4

x₂=(-9+7)/4=-1/2

Finalement, 2x³+5x²-14x-8=(x-2)( 2x²+9x+4)=2(x-2)(x+1/2)(x+4)=(x-2)(2x+1)(x+4)=0

                            S= {-4,-1,2}

Équations bicarrées

On passe par un changement de variable.

Exemple:

Résoudre dans IR: x⁴+7x²-18=0 (équation bicarrée)

On pose X=x², l’équation devient X²+7X-18=0

∆ =(7)²-4(1)(-18)=121

X₁=(-7-11)/2 =-9

X₂=(-7+11)/2 = 2

On sait que

X₁=x²=-9 solution impossible car le carré ne peut pas être négatif

X₁=x²=2  => x=-Ѵ2 et x=+Ѵ2 =>  S={-Ѵ2,+Ѵ2}

Equations rationnelles

C’est une équation dans laquelle l’inconnue apparait au moins une fois au dénominateur d’une expression et dont le domaine de définition n’est pas IR.

Exemple : Soit à résoudre:

Df=IR-{-3;3}

En mettant au même dénominateur, on a:

< = >

∆ =(19)²-4(5)(102)=2401=(49)²

x₁=(-19-49)/10=--34/5

x₂=(-19+49)/10=3 exclue

EXERCICES

EXERCICE I:

1.a) Montrer que le trinôme:

 f(x)=2x² + 3x +1 peut se mettre sous la forme

      f(x)= 2[(x +  )² –  )]

b) Comment appelle-t-on cette forme?

2) Déduire de l’expression de 1-b) les solutions de l’équation f(x)=0.

On rappelle l’identité remarquable:

 a²-b²= (a-b)(a+b).

3- Soit le polynôme de second degré P(x)=4x²-12x-7

a- Donner l’expression de la forme canonique de p(x)

b- Utiliser cette forme canonique pour trouver l’expression factorisée de p(x)

c- En déduire les solutions de l’équation p(x)=0.

EXERCICE II: Résoudre dans IR, chacune des équations suivantes et donner la forme factorisée des polynômes associés à chacune de ces équations

a) -2x² - Ѵ5x + 2 = 0,

b) 3x² - 6x + 3 = 0,

c) 6x² - 5x + 7 = 0.
d) -x² + |x|+ 2 = 0,

 e) (x - 10)² - (x - 10) - 2 = 0.
f) .

g)  =x+4.

h)  =x+10

i)  x - 5Ѵx - 6 = 0

EXERCICE III:

1. Soit m un paramètre réel.

Discuter et résoudre suivant les valeurs de m l’équation (Em) :

-x² + 4x + 1 - m = 0
2. Soit m un paramètre réel.

On considère l’équation d’inconnue x :(Em) :

2x² + m - x + 2 = 0
Discuter et résoudre suivant les valeurs de m, le nombre et le signe des solutions de (Em)

EXERCICE IV: On donne les polynômes

p(x) = x³ - x² + x + 3 et q(x) = 2x³ + 5x² - 14x - 8
1.Vérifier que -1 est une racine évidente de p(x).

         Vérifier que 2 est une racine évidente de p(x).

 2. Déterminer les autres racines de p(x) et de q(x).

EXERCICE V:

1. a) Résoudre dans IR:

t⁴ -169t² +3600 =0

    b) En déduire les solutions du système:

2.  Résoudre dans IR:

 x⁴ +7x² -18=0

EXERCICE VI:

1.Mme Ouattara a acheté un certain nombre de pièces de tissu pour 43200frs. Si pour la même somme, elle avait eu 2 pièces de moins, la pièce lui aurait couté 300frs de plus. Déterminer le nombre de pièces achetées et le prix d’une pièce.

2. Un commerçant achète n actions dans une banque A à 600000 Fcfa. Dans une autre banque B
il aurait pu acheter avec la même somme 100 actions en moins mais chaque action se verrait alors augmenter de
3000Fcfa. Déterminer le nombre d’actions vendues et le prix d’une action

3. De tous les rectangles d’aires 100 m², quel est celui qui a le plus petit périmètre?

4. Les élèves du Lycée classique de Bafoussam organise une excursion. Pour cela, ils louent un car à120000f. Au moment du départ ,4 nouveaux élèves s’ajoutent et chacun des partants doit alors payer 100f de moins.

Déterminer le nombre d’élèves qui participent à l’excursion et la somme que chacun doit payer.

EXERCICE VII:

1. Une marchandise qui coutait 51840 FCFA subit deux réductions de x% puis est vendue au prix de 36000 FCFA. Déterminer la valeur de x.
2. Une usine de traitement de cacao, permet de produire 7500 tonnes l’année de son ouverture qui est à sa 1^ère année de fonctionnement. Par suite de modernisation de son matériel, elle augmente sa production de 1200 tonnes chaque année. Cette production se poursuivra ainsi jusqu’à ce qu’elle atteigne une production maximale de 18300 tonnes.

La dépense D(x) où x désigne le nombre de jours est donnée par

D(x)= -(1/2) x³+200x²   - 3000x.

1-Après combien d’année, la production maximale sera atteinte?

2-Pour quelle valeur de x, le chef d’usine dépense-t-il minimum d’argent pour son travail?

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CORRIGES

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