CORRIGES

EXERCICE I:

1- a) Tout trinôme p(x) = ax² + bx + c,

peut se mettre sous la forme p(x)=

f(x)= 2x² + 3x +1 ,

Par identification a=2, b=3 et c=1

=>-4(2)(1)=1

 f(x) = 2[(x +  3/4)² –1/16 )]

b)  formecanonique

2) f(x)=0  < = >2[(x + 3/4 )² –  1/16)]=0

< = > 2[(x+3/4) -1/4][ (x+3/4) +1/4]=0

 <=>2[x+1/2][ x+]=0

=>x=-1/2 ou x=-1.

3- Soit le polynôme de second degré P(x)=4x²-12x-7

A=4,b=-12,c=-7 et Δ=(-12)2-4(4)(-7) = 144+112=256

a-  p(x) = 4[(x +(-12/8))² –256/64] = 4[(x-3/2)² -4]

b-  p(x)= 4[x -3/2 -2] 4[x -3/2+2] =4[x-7/2  ] [x+1/2 ]

c- p(x)=0 <=>4[x -7/2] [x +1/2]=o => x=7/2 ou x= -1/2

EXERCICE II:

a)    -2x² - Ѵ5x + 2 = 0

Δ=(-Ѵ5)²-4(-2)(2)=5+16=21

 Δ>0 => cette équation admet deux solutions distinctes

= -

= =>S = {}

b) 3x² - 6x + 3 = 0   < =>x²-2x+1=0

Δ=(-2)²-4(1)(1)=0

Δ=0  => cette équation admet une solution double

x₁=x₂=-b/2a=-(-2/2)=1 =>S={1}

: //On pouvait remarquer qu’on a l’identité remarquable (x-1)² .

c) 6x² - 5x + 7 = 0.

Δ=(-5)²-4(6)(7)=25-168=-143

Δ<0  => cette équation n’admet pas de solution dans IR

                    S=

d) -x² + |x|+ 2 = 0 <=>(-x²+x+2=0) et (-x²-x+2=0)

· -x²+x+2=0 pour x>0

Δ=(-1)²-4(-1)(2)=9 => x₁= 2

                                  x₂= -1 exclu car x>0

· -x²-x+2=0 pour x<0

Δ=(-1)²-4(-1)(2)=9 => x₁=1 exclu car x<0

X=-2

                                                                                         S={-2;2}

g)

Contraintes: 7-2x ≥0 =>7≥2x =>x≤7/2

x+4  =>x-4

7-2x= < = >x² +10x+9=0 =>x₁= -9 et x₂= -4 

  =>S={-4}                                  // -9 est exclu en tenant compte des contraintes

i) x - 5Ѵx - 6 = 0

On pose:X=Ѵx =>X²=x

L’équation devient: X²-5X-6=0

EXERCICE III:
1-Discuter et résoudre suivant les valeurs de m l’équation (Em) :

-x² + 4x + 1 - m = 0

Δ=(4)²-4(-1)(1-m)=16+4(1-m)=20-4m

Δ<0 <=>20-4m<0  d0nc m>5   =>S=

Δ=0 <=>20-4m=0  donc m=5  => S=-2

Δ>0<=>20-4m>0  donc m>5    =>

 x₁= et x₂=

EXERCICE IV:

1. On donne les polynômes

p(x) = x³ - x² + x + 3 et q(x) = 2x³ + 5x² - 14x - 8
 p(-1)=(-1)³ –(-1)²+(-1)+3=-1-1-1+3=0

 q(2)=2(2)³ +5(2)² -14(2) -8=16+20-28-8=0

2. Déterminer les autres racines de p(x) et de q(x).

p(x)=(x+1)(ax² +bx +c)

= ax³ +(b+a)x²+(b+c)x +c or p(x) = x³ - x² + x + 3

On obtient par identification :

 =>b=-2 et c=3

p(x) devient p(x)=(x+1)(x² -2x +3)

p(x)=0 <=> (x+1)(x² -2x +3)=0 =>(x+1=0) ou (x²-2x+3=0)

=>S={-1}   car x² -2x +3=0 n’a pas de solution dans IR

q(x)=(x-2)(ax² +bx +c)

= ax³ +(b-2a)x²+(c-2b)x +=-2c or q(x) = 2x³ + 5x² - 14x - 8

On obtient par identification:  =>b=9 et c=4

p(x) devient p(x)=(x-2)(2x² +9x +4)

p(x)=0 <=> (x-2)(2x² +9x +4)=0

=>(x-2=0)ou(2x²+9x+4=0) =>S={-4;;2}  

//autre méthode:

x^3 - x^2 + x + 3 -x^3-x^2     2x^2+2x             3x+3             -3x-3	X+1
	X^2 -2x +3

EXERCICE V:

1. a) Résoudre dans IR: t⁴ -169t² +3600 =0

On pose: x=t²

L’équation devient:x² -169x +3600=0

Δ=(-169)²-4(1)(3600)

=28561-14400=14161 =(119)²

x₁=25

x₂=144

On revient sur l’inconnu auxiliaire x= t²

t²=25 => t=-5 ou+5

t²=144 =>t=-12 ou+12

=> S={-12,-5,5,12}

    b) En déduire les solutions du système:

  x²+(60/x)²=169 <=> x⁴ -169x² +3600=0

On retrouve l’équation de a)  

=> S={(-5;-12); (-12;-5); (5;12); (12;5)}

//autre méthode:

x²+y²=(x+y)²-2xy=(x+)²-120

On aboutit aux systèmes=>

EXERCICE VI:

1.Soient: x: nombre de pièces

           y: prix d’une pièce

xy=43200 => y=43200/x  => (x-2)( 43200/x  +300)=43200

ou x²-2x-288=0

On trouve x₁=-16 et x₂=18

La solution négative est exclue

La solution acceptable est x=18 et y=2400

3. Soient: x: longueur

                 y: largeur

On trouve par substitution:

y=100/x =>P=2(x+100/x) d’où:

 x² - (P/2)x+100 = 0

Δ= P²/4– 400

Δ≥0 => P²/4– 400 ≥0 =>P≥40

La plus petite valeur est atteinte lorsque P=40 ()   x=y=10 donc le rectangle de périmètre minimal est un carre.

4. Les élèves du Lycée classique de Bafoussam organise une excursion. Pour cela, ils louent un car à120000f. Au moment du départ ,4 nouveaux élèves s’ajoutent et chacun des partants doit alors payer 100f de moins.

Déterminer le nombre d’élèves qui participent à l’excursion et la somme que chacun doit payer.

Soient: x: nombre initial de participant

           y: la somme initiale

xy=120000 =>y=120000/x =>  x²+400x-480=0

On trouve x₁= -24 et x₂= 20

La solution négative est exclue

La solution acceptable est x=20 et y=6000

Donc au départ 20 élèves se sont inscrits pour l’excursion et chacun devait payer 6000frs. Avec l’arrivée des 4 derniers élèves, l’excursion compte désormais 24 participants et chacun doit payer 5000frs.

EXERCICE IX:

1. x₁+x₂=7/5  =>x2=7/5-1=2/5

2. S=60 et P=864 => x²-60x+864=0

S= {24,36}