DERIVEES

DEFINITION

Soit f, une fonction numérique définie sur I, un intervalle et x₀est un réel ϵ I. On dit que f est dérivable sur I si:

existe et est finie.

Cette limite est appelée le nombre dérivé de f en x₀. On le note: f’(x₀).

Exemple:

f(x)=

= =-2

f est dérivable en x₀=1

CALCUL DES DÉRIVÉES

Soit f une fonction et f’ sa dérivée, on a les tableaux suivants:

OPERATIONS SUR LES FONCTIONS DERIVABLES

Soient f et 𝑔 deux fonctions dérivables sur un intervalle I de et k un nombre réel non nul.


cosf	-f’sinf
sinf	f’cosf

Exemple:

SIGNE DE LA DERIVEE

· Si la dérivée est de la forme ax + b

La racine (ou le zéro) du polynôme du premier degré ax + b est – b/a

. La règle de signe de ce polynôme est donnée par le tableau de signe ci-après

x	-∞. – b/a. +∞
ax + b	signe contraire de a. 0 signe de a

Exemple : si f’(x) = -x+2

f’(x) >0 à gauche de 2 c.-à-d. quand xϵ]-∞ ;2]

f’(x) <0 à droite de 2 c.-à-d. quand xϵ[2 ;+∞[

· Si la dérivée est de la forme ax² +bx+c

Lorsqu’un trinôme du second degré ax² +bx+c est factorisable et admet deux racines distinctes
alors son signe est celui de a à l’extérieur des racines et celui de -a à l’intérieur des racines.

Exemple : si f’(x) = -x²-2x+3

f’(x) >0 quand xϵ]-3 ;1[

f’(x) <0 quand xϵ]-∞ ;-3[U]1 ;+∞[

·
P Si un polynôme ne s’annule pas sur un intervalle, alors il garde un signe constant sur cet intervalle

Exemple : si f’(x)=2x²+x+1 f’(x)>0 dans IR

SENS DE VARIATION

Soit f une fonction numérique dérivable sur un ensemble K, I un intervalle de K

· f est croissante sur I si pour tout réel x de I ,f’(x)>0

· f est décroissante sur I si pour tout réel x de I ,f’(x)<0

· f est constante sur I si pour tout réel x de I ,f’(x)=0

RECHERCHE DES EXTREMA

Soient la fonction dérivable sur I, un intervalle donné et C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,)

On dit que (C_f) admet un extrémum au point A(x₀,f(x₀)) si f’(x₀)=0 et pendant l’étude du signe de la dérivée, on observe un changement de signe.

· Si f croit et décroit ensuite, on a un maximum en M₀. Il correspond à la plus grande ordonnée. La courbe admet une tangente horizontale en M₀.

· Si f décroit et croit ensuite, on a un minimum. Il correspond à la plus petite ordonnée. La courbe admet une tangente horizontale en M₀.

Exemple : recherchons les extrema de la fonction

f’(x)=x²+x-2

f’(x)=0 <=> x²+x-2=0

<=>(x-1)(x+2)=0 =>x=1 ou x=-2

f(1)= => le point de coordonnées (1 ; ) est un extremum.

f(-2)= => le point de coordonnées (-2 ; ) est un extremum.

TABLEAU DE VARIATION

DERIVEES SUCCESSIVES : POINT D'INFLEXION

. Lorsque la dérivée seconde s'annule en un point d'abscisse x₀ en changeant de signe, alors
le point d'abscisse x₀est appelé « point d’inflexion ».
. Au point d'inflexion, la courbe traverse la tangente et change de concavité

EQUATION DE LA TANGENTE A LA COURBE D’UNE FONCTION

· Soient une fonction f, (C) sa courbe représentative et A un point de (C) d’abscisse x₀. Si f est dérivable en x₀, alors(C) admet en A une tangente (T) dont le coefficient directeur est f’(x₀).

La tangente (T) en x₀ a pour équation :

y=f’(x₀)(x-x₀) + f(x₀)