DERIVEES


DEFINITION


Soit f, une fonction numérique définie sur I, un intervalle et x0est un réel  I. On dit que f est dérivable sur I si:

  existe et est finie.

Cette limite est appelée le nombre dérivé de f en x0. On le note: f’(x0).

Exemple:

  

        =.     f est dérivable  x0=1

  =    =  =  = -∞.     f n’est pas dérivable  x0=0    

CALCUL DES DÉRIVÉES

Soit f une fonction et f’ sa dérivée, on a les tableaux suivants:

OPERATIONS SUR LES FONCTIONS DERIVABLES

Soient f et 𝑔 deux fonctions dérivables sur un intervalle I de et k un nombre réel non nul.

cosf

-f’sinf

sinf

f’cosf

Exemple:

COMPOSITION DES FONCTIONS

DERIVEE SUCCESSIVE : POINT D'INFLEXION


.         Lorsque la dérivée seconde s'annule en un point d'abscisse x0 en changeant de signe, alors
le point d'abscisse x0 est appelé « point d’inflexion ».
.        Au point d'inflexion, la courbe traverse la tangente et change de concavité

EQUATION DE LA TANGENTE A LA COURBE D’UNE. FONCTION

· Soient une fonction f, (C) sa courbe représentative et A un point de (C) d’abscisse x0. Si f est dérivable en x0, alors(C) admet en A une tangente (T) dont le coefficient directeur est f’(x0).

La tangente (T) en x0 a pour équation:

y=f’(x0)(x-x0) + f(x0)

Exemple:

 f(x)=x2 +2  et x0=3

f’(x) =2x

f’(3=2(3)=6

f(3)=(3)2 +2 =11

L’équation de la tangente en 3 est: y=6(x-3) + 11=6x+29=> y=6x +29

· Si f’(x0) =0, alors (C) admet au point abscisse x0 une tangente parallèle à l’axe des abscisses (horizontale) d’équation y =f(x0).

 

SENS DE VARIATION

RECHERCHE DES EXTREMA

          Soient la fonction dérivable sur I, un intervalle donné et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,)

On dit que (Cf) admet un extrémum  au point A(x0,f(x0)) si f’(x0)=0 et  pendant l’étude du signe  de la dérivée , on observe un changement  de signe.

Si f croit et décroit ensuite, on a un maximum en M0. Il correspond à la plus grande ordonnée. La courbe admet une tangente horizontale en M0.

Si f décroit et croit ensuite, on a un minimum. Il correspond à la plus petite ordonnée. La courbe admet une tangente horizontale en M0.



TABLEAU DE VARIATION

EXERCICES

EXERCICE I: Déterminer les dérivées de:

i)

ii)

iii)

EXERCICE II

Dans chacun des cas suivants, déterminer la dérivée de la fonction f:

1.  sin(x-x2)

2.

3.

4.

5.

6.

EXERCICE III:

On considère la fonction rationnelle définie par: . On désigne par Cf sa représentation graphique.

1. Déterminer une équation de la tangente (T) à Cf au point d’abscisse 0.

2. Cf admet-elle une tangente de coefficient directeur à 0?

3. Existe-t-il des points de Cf où la tangente est parallèle à la droite d’équation 11x +4y-1=0?

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CORRIGES

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