PPMC
DEFINITION
Le plus petit commun multiple de
deux entiers a et b appelé aussi PPCM (a,b) est le plus petit entier multiple à
la fois de a et de b.
Exemple :
trouvons le ppmc de 15 et 35
Multiples de 15 :30,45,60,75,90,105,120….
Multiples de 35 :70,105,140,175,210,245,280,315,350….
ppmc(15,35)=105
METHODE DE CALCUL DU PPCM
Le PPCM de deux nombres entiers
naturels est le produit de tous les facteurs issus de la décomposition
de ces deux nombres en produit de facteurs premiers, chacun étant affecté de son
plus grand exposant.
Exemple :
348 = 2 x 2 x 3 x 29 = 22x3x29
432 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3=24x33
PPMC (348,432) =24x3329=12528 //on retient les facteurs qui ont les plus grands
exposants
Remarques :
Ø Si a et b sont premiers entre eux
alors : PPMC (a,b) = a x b.
Ø Si b est un diviseur de a alors. PPMC (a,b) = a
.
Application
Décomposer en produit des facteurs premiers les nombres 104 et 50, puis
déduire leur PPCM
Solution : 104=23x13
50=2x52
Ainsi le PPMC (104,50) =23x52x13 =2600
EXERCICES
EXERCICE
I :
1. Enumérer les 7 premiers multiples de 30.
2. Enumérer les 7 premiers multiples de 36.
3. Déduire le plus petit multiple commun (PPMC)
de 30 et 36.
EXERCICE
II :
1. Décomposer 15 en produits de facteurs
premiers.
2. Décomposer 45 en produits de facteurs
premiers.
3.En déduire le plus petit multiple commun
(PPMC) de 15 et 45.
EXERCICE
III :
a)
Déterminez le plus petit commun multiple des deux entiers dans chacun des cas
suivants
: 5 et 6 puis 120 et 50.
b) Déduire les étapes à suivre pour réaliser cette tâche.
EXERCICE
IV :
Deux
voitures A et B partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours d’un même circuit. La voiture A fait le tour du circuit
en 36 mn et la voiture B en 30 mn. Après le départ, au bout de combien de temps
les deux voitures se croisent pour la première fois ?
EXERCICE
V:
CORRIGES :
EXERCICE I :
1. les 7 premiers multiples de
30 :30, 60, 90, 120, 150, 180,210……
2. les 7 premiers multiples de
36 :36, 72, 108, 144, 180, 218, 252…..
3. PPMC( 30 , 36) =180
NB :méthode des ordinateurs
EXERCICE II :
1. Décomposer 15 en produits de
facteurs premiers :
15 3. // 15 :3=5 reste :0
5 5 // 5 :5=1
1.
15=1x3x5
2. Décomposer 45 en produits de
facteurs premiers
45 3
15 3
5 5
1 45=1x3x3x5=1x32x5
3.
Le ppmc s’obtient en prenant tous les
facteurs premiers issus de la décomposition, chacun étant affecté de son plus
grand exposant.
PPMC
(15,45)=1x32x5=1x9x5=45
EXERCICE III :
a) PPCM (5,6) = 30
//5 et 6 sont premiers entre eux ; ppmc
=5x6=
30
PPCM (120,50) =600
b) Pour chercher le PPCM de deux entiers a et b, nous pouvons appliquer
l’algorithme formel suivant :
• si a=b, le PPCM est a (ou b)
• sinon, chercher les multiples de a en ordre croissant et s’arrêter s’il est
multiple aussi de b.
EXERCICE IV:
Il suffit de chercher le PPMC (36,30)
=70
EXERCICES V :
100=22x52
92=22x23
PPMC (100 ;92) =22x52x23=2300
Le commerçant devra avoir2300 oranges
et 2300 pommes de France pour pouvoir faire des sacs contenant autant d’oranges
que de pommes de France.
2300 :100=23
2300 :92=25
