OSCILLATEUR ELECTRIQUE : CIRCUIT RLC

LES OSCILLATIONS ELECTRIQUES LIBRES

Montage expérimental

On considère le montage schématisé ci-dessous :

-générateur de tension continu

-condensateur de capacite C

-bobine montée en série avec un résistor R

-On place l'interrupteur sur la position 1 de façon à charger le condensateur.

- A une date choisie comme origine des temps (t=0), on bascule l'interrupteur sur la position 2. Le condensateur se décharge alors dans le dipôle RL.

L’énergie électrique emmagasinée par le condensateur chargé, est progressivement convertie en énergie magnétique par la bobine et inversement. Ces conversions alternatives d’une forme d’énergie en une autre justifie les oscillations électriques dont le circuit RLC est siège ces oscillations sont dites libres car l’évolution du système ne dépend pas d’un acteur extérieur.

Etude théorique d’un oscillateur électrique libre

Oscillations libres avec amortissement

On s'intéresse à la décharge du condensateur dans le dipôle RL. La loi d'additivité des tensions appliquée au circuit s’écrit :

 u_C + u_R +u_L =0

La charge q du condensateur est proportionnelle à la tension uC à ses bornes : q =C.u_C

Soit encore :

C’est l’équation différentielle qui régit la variation, dans le temps, de la charge du condensateur.

Oscillations libres sans amortissement : cas limite du dipôle LC

Le circuit LC est un cas limite de circuit idéal dont la résistance serait nulle (R=0). L'équation différentielle du circuit LC s’écrit :

 La solution de cette équation différentielle est de la forme :

q(t)=Q_mcos(ω₀t+φ)

 Dans cette relation, Q_m, w₀ et j sont des constantes à déterminer.

- Qm est l'amplitude q(t). Elle s'exprime en coulombs (C).

- ω₀ est la pulsation propre des oscillations électriques. C'est une grandeur qui s'exprime en radian par seconde (rad.s-1)

- φ est la phase à l'origine. C'est une grandeur qui s'exprime en radian (rad).

L’expression donnant  est :

On définit la période propre T₀ des oscillations électriques libres par la relation :                                                                                                                                                                                 

LES OSCILLATIONS ELECTRIQUES FORCEES

Lorsqu’on branche un générateur basse fréquence (GBF) délivrant une tension sinusoïdale de fréquence réglable, en série avec un résistor R ,un condensateur de capacité C et une bobine d’inductance L, le circuit RLC ainsi formé est le siège d’oscillation forcées car sa fréquence est imposée par un dispositif extérieur.

Etude théorique d’un dipôle RLC

Dans un dipôle   RLC, la tension et l’intensité sont des fonctions sinusoïdales de même fréquence et présentant un déphasage φ.

Soit i(t)=I_mcosωt , alors u(t)=e(t)=U_mcos(ωt +φ),

La loi d’additivité des tensions appliquée à la figure ci-dessus donne : -e(t) +u_L+u_R+u_C=0  => u(t)=e(t) =u_L+u_R+u_C

Soit :

En tenant compte des expressions :

Ri=RImcos ωt

On a :

Construction de Fresnel

La tension u(t), somme de trois tensions sinusoidales de même fréquence est donnée par : u(t)=U_mcos(ωt +φ), La fonction sinusoïdale u(t) = Um.cos(ωt+ φ) est représentée par un vecteur (dit de Fresnel)

- de longueur Um

- faisant par rapport à l ’axe horizontal à instant t=0 un angle

 • à instant t=0 un angle φ

• à instant t un angle (ωt+ φ)

-tournant dans le sens trigonométrique à la vitesse angulaire ω

La construction de Fresnel donne :

Caractéristiques du dipôle série RLC

· Impédance :

L’impédance d’un circuit RLC est donnée par :

· Déphasage :

Deux relations permettent d’établir le déphasage φ de la tension par rapport au courant :

-si   la tension est en avance de phase sur le courant(φ>0) l’effet inductif est plus important que l’effet capacitif,

- si   la tension est en retard de phase sur le courant(φ<0) l’effet capacitif est plus important que l’effet inductif,

- si   la tension est en phase avec le courant(φ=0) les effet inductif et capacitif se compensent. Ce cas survient à la résonnance d’intensité.

Résonnance d’un circuit RLC

Il y a résonnance d’intensité quand la fréquence du générateur est égale à la fréquence propre du dipôle :

La condition de résonnance  implique :

-

-

-

Dans un circuit RLC série, à la résonnance d’intensité, l’impédance est minimale et égale à la résistance, l’intensité efficace du courant est maximale, et la tension et le courant sont en phase.

Bande passante a trois décibels

La bande passante à trois décibels d’un dipôle RLC est l’intervalle de fréquence pour lequel la puissance P transmise au dipôle est supérieure ou égale à la moitié de sa valeur P_R a la résonnance.

Aux limites de la bande passante :

La puissance étant proportionnelle au carré de l’intensité, les limites de la bande passante sont telles que :

La bande passante à -3dB correspond donc aux valeurs des fréquences pour lesquelles I(t) est supérieure ou égales à

Les fréquences limites sont telles que :

En utilisant l’expression de Z, on obtient les équations :

Les pulsations limites ω₁ et ω₂ sont les solutions positives de ces deux équations :

La largeur de la bande passante est donc l’intervalle :

Elle est d’autant plus grande que R est grand (résonnance floue)

Facteur de qualité et surtension a la résonnance

Le facteur de qualité note Q d’un dipôle RLC est le rapport :

C’est un nombre sans dimension qui rend donc compte de l’acuité de résonnance (caractère plus ou moins sélectif) d’un circuit : plus le facteur de qualité est grand, plus la résonance est aigue. Cette grandeur s’exprime aussi en fonction des caractéristiques du dipôle RLC :

A la résonance, le rapport des tensions aux bornes du condensateur (et de la bobine), a celui de la tension appliquée aux bornes du dipôle est 

:

Soit :

Les tensions efficaces aux bornes du condensateur et de la bobine peuvent donc être beaucoup plus grandes que celle appliquée aux bornes du circuit RLC. Ce phénomène est appelé surtension a la résonance et le facteur de qualité Q encore appelé acteur de surtension.

PUISSANCE ELECTRIQUE EN REGIME SINUSOÏDAL FORCE

Puissance instantanée

I=IѴ2cosωt et u=UѴ2 cos(ωt+ φ)

P=ui=2UI cosωt cos(ωt+ φ)=UIcos φ +UIcos(2ωt+ φ) // cosacosb=1/2[cos(a+b)  +cos(a-b)]

Puissance moyenne

La puissance moyenne P est la valeur moyenne de la puissance instantanée sur une période

U est en volts(V)

I en ampères (A)

P en watts (W)

C’est aussi la puissance active. La puissance active correspond à l'énergie par unité de temps réellement consommée.

Le rapport entre la puissance active et la puissance apparente est appelé facteur de puissance.

Puissance apparente

 La puissance apparente se note S et a pour définition :

S = U x I

S - s'exprime en voltampères (VA).

 Si Z est l'impédance du circuit envisagé, on peut remplacer I par le rapport U/Z. La puissance apparente s'exprime alors par la relation : S = U²/ Z

Puissance réactive

La puissance réactive se note Q et a pour définition

: Q = U x I x sin φ = S x sin φ

Q - s'exprime en voltampères réactifs (VAR).

Si X est la réactance équivalente du circuit envisagé (selfique ou capacitif),

Elle s'exprime encore par l'expression :

Q = U²/ X

La puissance réactive correspond à de l'énergie alternativement fournie et restituée.

Puissance consommée par un dipôle RLC série

cos φ=R/Z et U=ZI => P=RI²

Tout l’énergie électrique consommée dans un dipôle RLC série est absorbée par effet joule dans le résistor.

Importance du facteur de puissance

Dans une installation électrique demandant une puissance P sous une tension U imposée par le distributeur. L’intensité du courant appelé est :

Et la puissance perdue par eet oule le long d’une ligne distributrice de résistance r est :

La résistance r de la ligne étant fixée, de même que la tension d’alimentation U et la puissance P à fournir, les pertes sont inversement proportionnelles a

Elles sont d’autant plus grandes que le facteur de puissance est petit. Or le déphasage dans une installation dépend de l’utilisateur. C’est pourquoi les sociétés distributrices d’énergie pénalisent les installations industrielles de moyenne puissance dont le facteur de puissance est inferieur a une certaine limite (très souvent 0,93) et qui sont responsables d’un surcroit d’énergie non facturable dans les lignes distributrices.

Pour relever le facteur de puissance, on utilise des condensateurs que l’on branche en parallèle avec l’installation.

Entretien des oscillations d'un circuit RLC série

Pour entretenir les oscillations, il faut ajouter au circuit RLC un dispositif qui restitue à chaque instant l'énergie perdue par effet Joule.  Toutefois, il faut savoir que c'est un dispositif à "résistance négative" qui apporte à chaque instant au circuit RLC une puissance R.i². Le bilan de puissance sera ainsi nul.

dE /dt =-R.i² + R.i² = 0

On aura ainsi une énergie constante (E = Cte). Les oscillations sont entretenues de période T égale à la période propre T₀.

EXERCICES

EXERCICE I:

On réalise le montage ci-dessus dans lequel le condensateur est initialement déchargé et la bobine d’inductance L et de résistance r.

Données :L=40 mH ;C=100nF ;R=100Ω ; E=10 V.

1-Etude du régime continu

L’interrupteur étant fermé et la bobine supposée de résistance nulle (bobine idéale).

1.1-Exprimer la tension U_C aux bornes du condensateur et déduire la charge q du condensateur.

1.2-Determiner les intensités dans chacune des branches du circuit.

2. Etude du régime transitoire

On ouvre l’interrupteur a l’instant t=0

21-Etablir l’équation différentielle

22-Sachant qu’a t=0, le condensateur est déchargé et que i=i₀=-0,10 A. déterminer les expressions instantanées de q(t)  et i(t).

On précisera les valeurs numériques de l’amplitude, de la pulsation et de la phase dans les deux cas.

3-On suppose maintenant r=10 Ω expliquer physiquement ce qui se passe dans le circuit

.

EXERCICE II :

Entre deux points A et B, on établit une tension sinusoïdale u = Umsinωt de fréquence f = 50 Hz.

1° Un appareil purement thermique, de résistance R = 100Ω, branché entre A et B est traversé par un courant d’intensité efficace 1,2A. En déduire la valeur numérique de Um, ainsi que l’expression numérique de u(t).

2° Une bobine de résistance négligeable, placée seule entre A et B, laisse passer également un courant de 1,2 A.

2 .1 Déterminer l’inductance de la bobine.

2.2 Donner l’expression i(t) de l’intensité du courant dans la bobine.

3° On monte en série entre A et B l’appareil thermique ( voir 1°), la bobine ( voir 2°), et un condensateur de capacité C = 10 μF. Calculer :

3.1 L’intensité du courant efficace dans le circuit.

3.2 La ddp aux bornes de chaque appareil.

3.3 Construire le diagramme vectoriel des tensions.

3.4 Calculer la puissance consommée par le circuit.

3°5 Déterminer la capacité du condensateur qu’il aurait fallu utiliser pour obtenir l’intensité maximale. Quelle est dans ce cas, la valeur en fonction du temps de l’intensité instantanée i(t) ?

EXERCICE III :

On place en série, entre deux points A et B, une bobine d’inductance L et de résistance interne négligeable, un résistor de résistance R=80 Ω et un condensateur de capacite C. L’ensemble est soumis à une tension sinusoïdale u(t)=UѴ2cos(ωt+φ) avec U=100V.

L’intensité efficace du courant est 0,5A. Un voltmètre place entre les bornes du condensateur indique 120V.

1.Calculer l’impédance du circuit RLC

2.Sachant que l’impédance du condensateur est supérieure a celle de la bobine, calculer la phase φ de la tension par rapport au courant.

3.Representer sur un diagramme de Fresnel les tensions U_R, U_L ,U_C et U. en déduire la tension efficace U_L aux bornes de la bobine.

EXERCICE IV :

On établit aux bornes d’un circuit RLC série une tension sinusoïdale de valeur efficace U=200 V

On fait varier la fréquence N. A chaque valeur de N correspond une intensité efficace I.

On obtient le tableau :

N(Hz)	400	500	600	700	780	800	900	1000
I(A)	0,75	1,5	2,8	4	2,8	2,5	0,75	0,5

1.Tracer la courbe de l’intensité I=f(I)

2.En déduire le facteur de qualité.

3.Calculer les valeurs de R, L et C.

EXERCICE V:

Situation problème :
Un vendeur de composant électronique reçoit très souvent les plaintes de ses clients sur la qualité des pièces et décide de vérifier les caractéristiques des pièces restantes dans le magasin
(Document)
Il fait appel à sa fille Angélique élève en classe de terminale C pour l'aider à faire ce travail. Une fois au laboratoire de l'établissement l'élève réalise les expériences suivantes :
Document : Composants disponibles dans le magasin.
Résistor (R=85Ω ), bobine (1,2 H ; 15Ω); condensateur (C=6μF)

Expérience 1
Elle monte le résistor aux bornes d'un générateur de tension constante U= 6 V, l'intensité du courant est alors I = 0,0706 A.

Expérience 2
Elle monte la bobine et le résistor en série. Ce circuit est alimenté par un générateur de tension constante U= 6 V. l'intensité du courant est alors I = 0,06 A.

Expérience 3
Elle monte le condensateur initialement déchargé en série avec le résister. Ce circuit est alimenté par un générateur de tension constante. Un dispositif approprié a permis de constater que la constante de temps du dipôle est τ=0,5 ms.

Expérience 4
Le résistor, la bobine et le condensateur sont montés en série et alimentés par un générateur basse fréquence (GBF) qui délivre une tension sinusoïdale. Un oscillographe est branché et permet de suivre les variations des deux tensions.

On fait varier la fréquence délivrée par le GBF dans le circuit, les deux courbes obtenues sur l’oscillographe sont en phase. L'intensité du courant dans le circuit est de la forme : i(t)=Im cos(136πt)
En exploitant les informations ci-dessus et partir d'un raisonnement logique, propose à Angélique la réponse qu'elle doit donner à son père.

Baccalauréat C 2021

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