OSCILLATEUR ELECTRIQUE : CIRCUIT RC
GENERALITES
On appelle dipôle RC un dipôle formé par l’association en série d’un condensateur de capacite C et d’un résistor de résistance R.
q étant la valeur absolue de la charge des armatures du condensateur de capacite C,
Pour rappel, le condensateur est formé de deux plaques métalliques planes (de surface S) en regard et distantes de e, épaisseur du diélectrique. L’espace entre les deux plaques est rempli par le diélectrique. Lorsqu’on alimente le condensateur par une tension U, il se charge.
La charge q acquise par l’armature supérieure est :
q = CU
C est la capacité du condensateur plan (exprimée en Farad, F, ou mieux, en µF ou nF) :
ε0 : permittivité du vide
εr : permittivité relative du diélectrique
MISE EN EVIDENCE DES REGIMES TRANSITOIRES
Dispositif expérimental
On réalise un circuit électrique comprenant :
-Un générateur basse fréquence (GBF) délivrant une tension en créneaux dont les valeurs sont successivement 0V et 6V et dont la fréquence est réglée à la valeur f=100 Hz
-Un condensateur de capacité C
-Un résistor de résistance R.
:
-Lorsque le générateur délivre une tension positive u, la tension uC aux bornes du condensateur augmente jusqu’à la valeur maximale uCmax=E : on dit que le condensateur se charge.
-Pendant les phases ou le générateur délivre une tension nulle, la tension uC décroît, puis s’annule : le condensateur se décharge.
Le régime est transitoire tant que la tension aux bornes du condensateur varie. Lorsque cette tension devient constante, le régime permanent est atteint.
Energie électrique emmagasinée par un condensateur
L’énergie d’un condensateur de capacité C chargé sous la tension U est donnée par la relation :
Q en coulombs (C)
C en farads (F)
U en volts (V)
Eel en joules(J)
Equation différentielle d’évolution du circuit
u(t) = uC + uR
Cette équation différentielle de premier ordre en uC traduit l’évolution de la tension aux bornes du condensateur
-pendant la charge :
Les solutions sont de la forme : 
-
-
Évolution de la tension en fonction du temps pendant la charge.
-Pendant la décharge
Les solutions sont de la forme :
est la constante de
temps du circuit (RC), elle donne l’ordre de grandeur de la durée de charge du
condensateur
Évolution de la tension en fonction du temps pendant la decharge.
ETUDE DU CIRCUIT RC EN REGIME SINUSOÏDAL
Soit le circuit suivant :
L'ensemble est alimenté par une tension sinusoïdale, u(t)=e(t)=Umcos(ωt +φ), de valeur efficace U et de fréquence 50 Hz.
Cette tension se décompose en deux tensions partielles UR et Uc. La résistance et le condensateur sont en série ; ils sont donc traversés par le même courant d'intensité efficace I (indiqué sur le schéma).
IR = IC = I
Définition de l’impédance
Lorsqu'une portion de circuit, alimentée par une tension alternative, se compose exclusivement de résistances, des condensateurs et des bobines le courant est impérativement alternatif. On appelle alors impédance le rapport U/I. Cette nouvelle grandeur est généralement notée Z.
U est la valeur efficace de la tension aux bornes de la portion de circuit en volts ;
I est l'intensité efficace du courant total qui circule dans cette portion de circuit en ampères(A)
Z est l’impédance en ohms (Ω).
Remarques :
- L'impédance, comme la résistance et la réactance, a pour effet de s'opposer au passage du courant électrique et de le limiter.
- La relation U = Z x I traduit la généralisation de la loi d'Ohm en alternatif.
Tension instantanée aux bornes d’un dipôle RC
Dans un dipôle RC, la tension et l’intensité sont des fonctions sinusoïdales de même fréquence et présentant un déphasage φ.
Soit i(t)=Imcosωt , alors u(t)=e(t)=Umcos(ωt +φ),
La loi d’additivité des tensions appliquée à la figure ci-dessus donne :
u(t)=e(t) =uR+uC
Soit :
En tenant compte des expressions :
Ri=RImcos ωt
On a :
Construction de Fresnel
Le courant étant commun aux deux éléments, on le choisit comme origine des phases.
Le vecteur 
, de longueur
proportionnelle à la résistance R, est porté par la direction de I (en phase).
Le
vecteur 
, de longueur
proportionnelle à la réactance Xc=1/Cω, est perpendiculaire à la direction de I
(déphasé de –π/2).
Le vecteur, résultante des deux tensions partielles, représente la tension appliquée U. Cette résultante est ici l'hypoténuse du triangle rectangle. Sa longueur est proportionnelle à l'impédance Z.
- La tension aux bornes de la résistance R est en phase avec le courant et UR = R x I.
- La tension aux bornes du condensateur C est déphasée de –π/2 avec le courant (retard de T/4) et Uc = I/Cω.
- Les deux tensions partielles sont donc en quadrature.
Caractéristiques du dipôle série RC
· Impédance
D’après le théorème de Pythagore,
=>
· Déphasage de la tension appliquée par rapport au courant.
L’angle φ est négatif :la tension appliquée est donc en retard sur le courant.
Cet angle est tel que :
Ou encore :
Puissance moyenne consommée par le dipôle RC
La tension étant en quadrature retard sur le courant, : φ=-π/2 donc cos φ=0.
La puissance moyenne P=0
EXERCICES
EXERCICE I :
On envisage le circuit suivant constitué d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un condensateur de capacité C.
À l’instant t = 0, le condensateur est chargé sous la tension U0 = 10 V.
On notera :
• uC la tension aux bornes du condensateur à l'instant t, et l'on a uc(0) = U0
• uR la tension aux bornes du conducteur ohmique à l'instant t,
• i l'intensité du courant à l'instant t. Cette intensité a été comptée positivement au cours de la charge du condensateur,
• qA la charge de l'armature A du condensateur à l'instant t.
1. Quelle relation lie uR et uC ?
2. Rappeler la relation qui lie la charge qA de l'armature A à la tension uc.
3 .Établir la relation liant l'intensité i du courant à la tension uc.
4.
Montrer que l'équation différentielle régissant l'évolution de uc peut s'écrire
:
où a est une constante non nulle. Donner alors l'expression de a en fonction de R et C.
.5
Une solution de cette equation est de la orme 
, A etant une constante
strictement positive
En utilisant l'équation
différentielle, montrer que b
= 1 /RC .
EXERCICE II :
On réalise le circuit série du document 1 formé d'un conducteur ohmique de résistance R = 1 kΩ, d'un condensateur initialement neutre de capacité C, d'un générateur idéal de force électromotrice E et d'un interrupteur K. On ferme K à la date t0 = 0.
1) Nommer le phénomène physique qui a lieu dans le circuit.
2) Établir l'équation différentielle qui décrit l'évolution de la tension uBD = uC aux bornes du condensateur.
3) La solution de cette équation différentielle est :
Déterminer les expressions des constantes A, B et τ en fonction de E, R et C.
On
suppose qu’a t=0, uc(0)=0.
4) La courbe du document 2 représente l'évolution de uC avec le temps.
4.1) En se référant au document 2, indiquer la valeur de E.
4.2) En utilisant le document 2, déterminer la constante de temps τ du circuit.
4.3) Déduire la valeur de C. 4.4) En utilisant le document 2, déterminer l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur à t =1,4 ms.
4.5) Déduire la puissance électrique moyenne consommée le condensateur entre t = 0 et t =1,4 ms.
EXERCICE III :
Le circuit électrique se compose d'un condensateur C en série avec une ampoule A, tel que représenté ci-dessous.
Données :
Valeur du condensateur : C = 8,2 µF.
Caractéristiques de l'ampoule lues sur son embase : UA = 130 V; P = 60 W; d'où I =0,46 A et la résistance à chaud RA = 282 Ω.
La tension appliquée U est égale à 230 V - 50 Hz.
1 - Calculer la tension Uc aux bornes du condensateur.
2 - Vérifier que la tension appliquée U n'est pas égale à la somme arithmétique des tensions partielles Uc et UA.
3 - Calculer l'impédance Z du circuit en effectuant le rapport U/I.
4 - Recalculer la valeur de Z en appliquant une autre relation
5 - Comment peut-on justifier la légère différence entre les deux valeurs de l'impédance Z obtenues ?
6 - Calculer le déphasage ϕ de la tension appliquée par rapport au courant.
7 - Donner en millisecondes la valeur Δt du retard de la tension appliquée par rapport au courant.
EXERCICE IV :
Situation problème :
Jean propriétaire d'un immeuble de dix niveaux constate qu'il fait très sombre
dans les escaliers lors des coupures du courant. Il décide d’achète un kit
solaire pour alimenter les lampes installées pour éclairer les escaliers
pendant une durée donnée après coupure de courant.
1. Le kit ( schéma ci-dessus) est constitué :
• d'une
plaque solaire comprenant 20 cellules photoémissives identiques et montées en
parallèle (les caractéristiques d'une cellule sont données sur le document) ;
• d'un système d'accumulation d'énergie électrique comprenant un résistor et
une association de trois condensateurs identiques ( voir ci-dessous).
L'association de condensateurs correspond à un condensateur équivalent dont la
courbe de charge est représentée en annexe.
Compte tenu de la taille de la plaque,
Jean se demande si elle pourra générer une intensité de courant de 5,0 A
nécessaire pour fournir la tension convenable de charge du système
d'accumulation.
Pendant l'installation, le technicien constate qu'un condensateur est
défectueux dans le système d'accumulation.
l Document : Caractéristiques d'une
cellule
• Puissance lumineuse reçue par une cellule P=1,0W
• Rendement quantique Rd=0,575
Autres informations
Rd=nN avec N le nombre de photons incidents par unité de temps
et n le nombre d'électrons émis par la cathode par unité de temps.
L’intensité de courant générée par la plaque correspond à l'intensité de
saturation des cellules.
Données : λsoliel=0,54μm ; e=1,6×10−19C ; h=6,62×10−34J.s ; c=3,0×108m/s ; R=6,0×108Ω et 1μm=10−6m
En exploitant les informations ci-dessus et en utilisant un raisonnement
logique :
1. Examine l'inquiétude de Jean.
2. Propose au technicien la caractéristique du condensateur défectueux.