LES TRANSFORMATIONS DU PLAN

GENERALITES

Transformation

 Une transformation du plan est une bijection du plan dans lui-même. À tout point M, on associe un unique point M′, et tout point M′ a un unique antécédent.

Si T est la transformation, on note T⁻¹ la transformation réciproque.

T(M) = M′ et T⁻¹(M′) = M

Exemple : La translation, la rotation, la symétrie centrale, la réflexion ou l’homothétie sont des transformations. Par contre la projection orthogonale n’est pas une transformation car une fois le point projeté, on ne peut plus revenir en arrière : l’antécédent n’est pas unique.

Remarque : La transformation qui au point M associe lui-même s’appelle l’identité. Elle est notée : Id

 Isométrie

 Une isométrie est une transformation qui conserve les distances. Soit i une isométrie :

i(M)=M’ et i(N)=N’ =>M’N’=MN

Soit i une isométrie du plan, on dit qu’un point M du plan est invariant par i lorsque i(M)=M

Remarques :

1-Les isométries élémentaires sont : les translations, les rotations, les symétries centrales.

 2-On distingue deux sortes d’isométrie :

· Les déplacements : isométries que conservent les angles orientés : (

Les translations et les rotations sont des déplacements.

· Les antidéplacements : isométries qui changent les angles orientés en leur opposé. (

Une symétrie orthogonale est un antidéplacement.

3- La composée de deux déplacements est un déplacement, de deux antidéplacements est  un déplacement, d’un déplacement et d’un antidéplacement est un antidéplacement.

4-L’image d’une droite par une isométrie est une droite.

5-L’image d’un cercle par une isométrie est un cercle de même rayon.

Exemple:

Soit f une application du plan qui a tout point M(x,y) associe M’(x’,y’) tel que:

Montrons que f est une isométrie.

Soit N(α,β) et N’(α’,β’) par f =>

Comparons les distances M’N’ et MN

f est une isométrie

Propriétés : Une isométrie conserve :

· Les distances : A′ B′ = AB

· Les aires : A = A ′

· Le parallélisme : si (D)//(∆) alors (D′)//(∆′)

· L’orthogonalité : si (D) ⊥ (∆) alors (D′) ⊥ (∆′)

· Les angles géométriques :̂ AOB =̂ A′O′ B′

· Le milieu : si I = m[AB] alors I′ = m[A′ B′]

· L’alignement : si A, B et C sont alignés alors A′, B′ et C′ le sont aussi.

· Le contact : si I est l’intersection des droites (D) et (∆) alors I′ est l’intersection de (D′) et (∆′)

QUELQUES TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES DU PLAN

La translation

Une translation t de vecteur  est une transformation définie par :

Exemple :

Propriétés :

1- Pour tous points M et N, on a :

2- La translation réciproque est la translation de vecteur .

3-Soient  et , deux vecteurs. La composée

Si

Ainsi toute translation du plan est une bijection.

4-L’image (D′) d’une droite (D) par une translation est :

· (D′)//(D) si la direction de (D) est différente de

(D′) = (D) si (D) et  ont même direction.

L’expression analytique d’une translation t de vecteur

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, ), L’expression analytique d’une translation t de vecteur

est:

La symétrie orthogonale

 Une symétrie orthogonale ou symétrie axiale d’axe (∆) est une application du plan dans lui-même qui a tout point M associe un point M’
par :
-si M ϵ (Δ) alors M=M’

-si M n’appartient pas à (Δ) alors (Δ) est la médiatrice du segment [MM’]

Exemple :

·

Propriétés :
 1-La symétrie orthogonale possède une droite où tous les points sont invariants : son axe.
2- La symétrie orthogonale inverse les angles orientés. C’est un antidéplacement.
3-L’image (D′) d’une droite (D) est une droite telle que :
 (D′) = (D) si (D) = (∆) ou si (D) ⊥ (∆)
 (D′)//(D) si (D)//(∆).
 (∆) est la bissectrice de l’angle formé par les droites (D) et (D′) dans les autres cas.
4-La symétrie orthogonale réciproque est elle-même. (transformation involutive)

La rotation

 Une rotation r de centre Ω et d’angle θ est une transformation définie par :

Exemple :

Remarque:

Toute rotation r de centre Ω et d’angle θ est une transformation du plan et sa transformation réciproque est:Ω, θ)=rΩ, -θ)

Propriétés :

1-La rotation possède un point invariant : son centre.

2-Soient Δ et Δ’ deux droites sécantes en Ω. s_Δ et s_Δ deux symétries axiales d’axes respectifs Δ et Δ’. La composée s_Δ o s_Δ est une

 rotation de centre Ω et d’angle 2(  Sont des vecteurs directeurs respectifs.

Si Δ  Δ’ alors s_Δ o s_Δ est une symétrie centrale de centre Ω

3- Une rotation de centre Ω et d’angle π correspond à une symétrie centrale de centre Ω noté S_Ω.

4- L’image (D′) d’une droite (D) est une droite telle que : (D′) et (D) forme un angle θ.

Composée de deux rotations

· Les rotations ont le même centre

La composée de deux rotations de même centre Ω et d’angle respectifs θ et θ’ est une rotation de centre Ω et d’angle θ + θ’

· Les rotations ont des centres distincts

Soient r(Ω, θ) et r’( Ω’, θ’)

Si θ + θ’

Si θ + θ’

Exemple:

Déterminons la nature des trois applications suivantes:

a)r(A,π/3) o r(B,π/4) est une rotation

b)r(P,2π/3) o r(Q,-2π/3) est une translation

c)r(A,π/4) o r(A,3π/4) est une symétrie centrale car on a r(A,π).

L’homothétie

Une homothétie h de centre Ω et de rapport k (k ∈ R∗) est une transformation définie par :

Remarques :

· si k=1 alors h est une translation.

· si k=-1 alors h est une symétrie centrale de centre Ω.

· Ω est le seul point invariant par h.

Exemple :

Propriétés :

1- L’homothétie est une transformation qui agrandi les figures si |k| > 1 et qui les réduit si |k| < 1. Les distances sont multipliées par |k|

2-L’homothétie n’est pas une isométrie. Elle ne conserve ni les distances ni les aires, mais conserve les autres propriétés des isométries.

3- L’homothétie conserve l’alignement, le barycentre,

4-L’aire d’une figure par une homothétie est multipliée par k², les volumes par k³

5-L’image d’un cercle de centre O et de rayon R par l’homothétie de rapport k est le cercle de  centre R’ et rayon |k|R.

6- L’image (D′) d’une droite (D) est une droite telle que :

· (D′) = (D) si Ω est sur (D).

· (D′)//(D) si Ω n’est pas sur (D).

L’expression analytique de l’homothétie de centre (Ω) et de rapport k

Composée de deux homothéties

Soient h et h’ deux homothéties de même centre Ω et de rapports k et k’ non nuls. La composée hoh’ est une homothétie de centre Ω et de rapport kxk’.

Si kxk’=1 alors hoh’=Id

Composée d’une homothétie et d’une translation

Soient h une homothétie de centre Ω et de rapport k (k≠0 et k≠1) et t une translation de vecteur (. Les composées hot et toh sont des homothéties de rapport k.

Recherche du centre

Posons f=toh et g=hot

Si (D) est une droite passant par Ω et dirigée par un vecteur , alors les centres des homothéties f et g appartiennent à la droite (D).

Soient A, B, A’ et B’ quatre points du plan tels que f(A)=A’ et g(B)=B’

Si O₁ est le centre de f, alors O₁ appartient à (AA’) D’autre part O1 appartient à (D) donc O₁ est le point d’interception de (AA’) et (D). De même le centre O₂ de g est le point d’interception de (BB’) et (D).

EXERCICES

EXERCICE I:

1-Déterminer l’expression analytique d’une translation de vecteur

2-reconnaitre et caractériser l’application d’expression analytique  

3-ABCD est un parallélogramme, quelle est la nature des translation suivantes:     et  

EXERCICE II:

Le plan est muni d’un repère (O,I,J). On considère les points A(1,-2), B(0,2), C(2,4).

1- Déterminer l’expression analytique de la translation du vecteur

2- Déterminer les coordonnées du point C’ image de C par la translation du vecteur

3- Déterminer une équation de la droite D’image de la droite D d’équation y=2x +1 par la translation du recteur .

EXERCICE III:

a-Déterminer l’expression analytique d’une homothétie de centre Ω et de rapport k=5

b-Donner la nature et les éléments caractéristiques l’application d’expression analytique:

EXERCICE IV:

ABCD est un carré de centre O et de sens direct, E est le milieu de [AB]

Soit h=h(A,1/2) et

On pose f=toh

1-

a-Montrer que f est une homothétie et préciser son rapport.

b-Déterminer l’image du point B par f.

c-En déduire le centre de f

2- soit h’=h(A,3)

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de h’oh

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