LIGNE DE NIVEAU

DEFINITION

Une ligne de niveau est la représentation graphique d’une fonction définie du plan vers l’ensemble des nombres réels. Elle peut être :

 Soit un ensemble vide ;

 Soit un singleton point du plan ;

 Soit une droite ;

 Soit un cercle.

LIGNE DE NIVEAU DU TYPE: M→ ,kϵIR

Soient A et B deux points du plan,  I milieu de [AB]. Recherchons l’ensemble des points M tel que ,kϵIR

=k

=k   //car I milieu de [AB] donc I=bar{(A,1),(B,1)}

et

=k  

=k   //car

   // car I milieu de [AB], IA=1/2 AB

1^er cas: < 0  =>

2^e cas:

3^e cas:

L’ensemble des points M est un cercle de centre I et de rayon

Exemple:

Soit AB tel que AB=4.Determinons l’ensemble des points du plan tel que MA.MB=3 avec I barycentre de(A,1) et (B,1).

=3 =>  

L’ensemble des points M est un cercle de centre I et de rayon

LIGNE DE NIVEAU DU TYPE : M → ,k ϵ IR

Recherchons l’ensemble des points M tel que ,kϵIR

Introduisons I barycentre de (A,1) et (B,1)

//car

On a:  avec H le projeté orthogonal de M

 , si

Exemple:

On donne AB=4 et I le milieu du segment [AB], déterminons l’ensemble des points du plan tel que

 <= >

LIGNE DE NIVEAU DU TYPE : M → ,k ϵ IR

Recherchons l’ensemble des points M tel que ,kϵIR

I est le milieu de [AB].

Recherchons l’ensemble des points M tel que ,kϵIR

Exemple:

On donne AB=4 et I milieu du segment [AB]. Déterminons l’ensemble des points M du plan tel que

LIGNE DE NIVEAU DU TYPE : M → ,k ϵ IR

Recherchons l’ensemble des points M tel que ,kϵIR

· Si k=1 alors MA=MB , c’est la médiatrice de [AB].

· Si k≠1

On pose:

 I=bar{(A,1),(B,-k)} <=>IA-kIB=0 or

et J=bar{(A,1),(B,+k)} <=>JA+kJB=0 or

LIGNE DE NIVEAU DU TYPE : M → ,k ϵ IR

Soit I le milieu de [AB]

=

=

=

<==k =>+k =+k

EXERCICES

EXERCICE I:

A et B étant deux points du plan, déterminer l’ensemble des points M du plan tel que

EXERCICE II:

 On donne AB=4. I milieu de [AB]

Déterminer l’ensemble des points M tel que MA²+MB²=58

EXERCICE III:

On donne AB=12. Déterminer l’ensemble des points M du plan tel que

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