NOMBRES PREMIERS

MULTIPLES-DIVISEURS

Effectuons la divisiondeaparb.

On pose:

aestladividende

best lediviseur

qest lequotient

rest lereste

On écrit:a = bxq +r

Exemple:

1273=15x84 +13icia=1273, b=15, q=84 et r=13

Définition:

ØOn dit qu’un entieraestmultipled’un entier b si le reste de la divisiondeaparbestzéro.

ØOn dit qu’un entierbest undiviseurd’un entierasi le reste de la divisiondeaparbestzéro.

Donc si a est un multiple de b alors b est diviseur de a.

Exemples:

4 est un diviseur de 32 car 32:4=8 et le reste est 0

32 est un multiple 4 pour la même raison.

Critères de divisibilité

NOMBRES PREMIERS

Définition
 Un entier supérieur à 1 est dit premier s’il n’est divisible que par 1 et par lui-même.
Décomposition en facteurs premiers
.La décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers consiste à écrire cet
entier sous la forme d’un produit de ces diviseurs premiers.

dividende

124

62

31

1

diviseur

2

2

31

124:2=62//2est le plus petit nombre premier différent de 1 qui divise 124.

62:2=31// 2 est le plus petit nombre premier différent de 1 qui divise 124.

31:31=1//31 est le plus petit nombre premier différent de 1 qui divise 124.

On déduit que124 =1x 2 x 2 x 31=1x22x31

NB:2x2=22on lit«2puissance2ou 2exposant2»

Donc 124=1x22x31


Méthode:

Pour chercher la décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers,
nous pouvons appliquer l’algorithme formel suivant :
• Vérifier si n est divisible par 2, si oui continuer à le diviser par 2 et le remplacer par le quotient de la division de n par 2, jusqu’à ce qu’il ne soit plus multiple de 2
• Refaire l’étape précédente pour les n0mbres premiers qui suivent:3, 5,7,11,13, ...
• Refaire les deux étapes précédentes jusqu’à avoir n = 1

Liste des 25 premiers nombres premiers inferieurs à 100:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

EXERCICES

EXERCICE I:

1.Completer

a-45=2x… + …

b-117=…..x23 +….

c-1223=6x203 + …

d-5040=8x630 +….

2. Enumérer les 5 premiers multiples de: 7,9 et 13

3. Enumérer les diviseurs de: 31,16 et 45

EXERCICEII:

1. Identifier parmi les nombres ci-dessous ceux qui sont premiers: 5; 42; 41; 7; 213; 81

2. Répondre par VRAI ou FAUX

a-27 est un nombre premier

b-13 est un nombre premier

EXERCICEIII:

1)Décomposez 124 en produits de facteurs premiers. Refaites le même calcul pour les entiers 348 et 432.
2) Comment faire pour décomposer un entier donné en produit de facteur premiers ?

EXERCICE IV :

Le service des espaces verts veut border un espace rectangulaire de 924 m de long sur 728 m de large `à l’aide d’arbustes régulièrement espaces : la distance entre deux arbustes consécutifs doit être constante, égale a un nombre entier de mètres. Un arbuste sera place à chaque angle du terrain.

1) Déterminer toutes les valeurs possibles de la distance entre deux arbustes.

2) Déterminer, dans chaque cas, le nombre d’arbustes nécessaires `a la plantation.

CORRIGES:

Exercice I:

1.Completons:

a-45=2x22 + 1

b-117=5.x23 +2

c-1223=6x203 + 5

d-5040=8x630 +0.

2-Multiples de 7:7, 14, 21,28…

Multiples de 9:9, 18, 27, 36,45…

Multiples de 13:13, 26, 39,42…

3-Diviseurs de 31:1

Diviseurs de 16:1, 2, 4, 8,16

Diviseurs de 45:1, 3, 5, 9,15

ExerciceII:

1. Nombres premiers: 5; 41; 7

2. Répondre par VRAI ou FAUX

a-27 est un nombre premier: Faux

b-13 est un nombre premier: vrai

ExerciceIII:

Pour écrire l’entier 124 en produit de facteurs premiers, nous pouvons dresser
puis remplir le tableau suivant :



dividende

124

62

31

1

diviseur

2

2

31

dividende

348

174

87

29

1

diviseur

2

2

3

29

En déduire que124 = 2 x 2 x 31
Nous ferons de même pour les entiers 348 et 432. En effet :
En déduire que348 = 2 x 2 x 3 x 29

dividende

432

216

108

54

27

9

3

1

diviseur

2

2

2

2

3

3

3

En déduire que432 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3


Ou verticalement:

124

62

31

1

2

2

31

//2 est le plus petit nombre premier différent de 1 qui divise 12

//2 est le plus petit nombre premier différent de 1 qui divise 62

//31 est un nombre premier, ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même

124=2x2x31x1=1x22x31

348

174

87

29

1

2

2

3

29

//2 est le plus petit nombre premier différent de 1 qui divise 348

//2 est le plus petit nombre premier différent de 1 qui divise 174

//3 est le plus petit nombre premier différent de 1 qui divise 87

//29 est un nombre premier, ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même

                                                348=2x2x3x29x1=22x3x29x1

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CORRIGES

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