PENDULE SIMPLE
Description du pendule simple
Le pendule simple est formé par :
• un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l ;
• une bille de masse m accrochée à l'extrémité du fil.
Etude dynamique du pendule simple
Si on écarte le pendule d'un angle θm par rapport à la verticale et qu'on lâche le pendule, celui-ci se met à osciller dans le plan vertical.
· Le référentiel du laboratoire est supposé galiléen ;
· On assimile la bille à un point matériel M qui ne subit que deux forces :
· Bilan des forces :
-le poids 
-
la tension du fil 
.
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la bille s’écrit :
Projetons
maintenant le Principe Fondamental de la Dynamique dans la base de Frenet 
:
car
L’équation (1) nous permet d’écrire :
(3)
C’est l’équation différentielle d’un pendule simple non amorti. Ces solutions ne sont pas sinusoïdales.
Pour des oscillations de faible amplitude (θ < 0,026 rad), on peut écrire en première approximation sinθ ≈ θ en radian.
L’équation différentielle devient alors :
On pose :
(4)
Les solutions sont de la forme :
Θ=θmsin(ω0t +φ)
Les oscillations de faible amplitude d’un pendule simple sont donc sinusoïdales.
La pulsation propre d’un pendule simple est :
Sa période propre est :
T0 en s
L en m
g en m.s-2
Etude énergétique du pendule simple
a) Energie mécanique de l’oscillateur
Lorsque le pendule oscille d’une position extrême A vers sa position d’équilibre, l’énergie potentielle se convertit en énergie cinétique et inversement. A chaque instant, on a : Em = Ep +Ec
En négligeant les frottements,
· Au point A. point d’amplitude maximale :
Ep=mgz
Ec=0 (car v=0)
z=h=OC-OP=a(1-cosθ) => Ep=mga(1-cosθ)
Donc Em(A)= Ep
On suppose que le plan horizontal passant par C à l’équilibre, comme état de référence de l’énergie potentielle de pesanteur, Ep = 0 en C.
· Au point C, position d’équilibre :
Ep=0 (z=0 car C est le niveau de référence de l’énergie potentielle)
Ec=1/2 mv2 => Em(C) = Ec
· Pour une position M quelconque, Em=Ec + Ep =1/2 mv2 + mga(1- cosθ)
Cas des oscillations de faible amplitude
Dans le cas des oscillations de faible amplitude, cosθ≈1-θ2/2
//car cosθm≈1-θm2/2 =>1-cosθ≈θ2/2
// on
remplace Θ par θmsin(ω0t +φ) , 
et
//cos2x +sin2x=1
Conclusion : L’énergie mécanique d’un pendule simple non amorti est donc constante.
Les frottements sont négligeables donc, Em est conservée.
En dérivant les deux termes de l’expression par rapport au temps, on a :
On retrouve l’équation déférentielle du mouvement du pendule simple.
EXERCICES
EXERCICE I :
Un pendule simple est constitué d’un fil de longueur 50 cm, fixé, par l’une des extrémités, à un support et un solide (S) de masse M=200 g, accroché à l’autre extrémité. On écarte le pendule de sa position d’équilibre et on le lâche.
1. Décrire le mouvement du pendule.
2. Dans quel plan oscille le pendule ?
3. Donner l’expression de la période des oscillations et la calculer
EXERCICE II :
On écarte un pendule simple de masse m = 10g d’un angle Ѳm = 8° et l’abandonne sans vitesse initiale. Il oscille librement. La longueur du pendule est l = 0,8m et
g = 9,8 m.s-2. L’origine des énergies potentielles est le plan horizontal contenant le solide suspendu à la position d’équilibre.
1. Ecrire l’équation différentielle du mouvement (faire le schéma).
2. Donner l’équation horaire de l’abscisse angulaire Ѳ sachant qu’à t = 0, le pendule passe par la position d’équilibre allant dans le sens des élongations décroissantes.
3. Calculer la période propre T0 de l’oscillateur.
4. Calculer l’énergie mécanique du système Terre-pendule.
5. Lorsque le pendule passe par la position d’équilibre, le fil heurte sur une butée en un point A tel que OA = 40cm. De quel angle Ѳ’m va-t-il s’élever de l’autre côté ?
EXERCICE III:
Un enfant se balance à l’aide d’une balançoire constituée d’une barre qu’il utilise comme siège, suspendue par deux cordes fixées à un support fixe. On modélise le système {enfant + balançoire} par un pendule simple composé d’un fil, inextensible de masse négligeable et de longueur L , et un corps (S) de masse m . Le système peut tourner autour d’un axe fixe horizontal (Δ) perpendiculaire au plan vertical. Le moment d’inertie du pendule par rapport à l’axe (Δ) est JΔ = m.L2
Données :
Intensité de la pesanteur : g = 9,8 m.s-2 ; longueur du fil : L = 3 m ; masse du corps (S) : m = 18 kg. O prend dans le cas de petites oscillations : sinθ ≈ θ et cosθ ≈ 1 - θ2 /2 (rad). On néglige les dimensions du corps (S) par rapport à la longueur du fil et tous les frottements.
1. Étude dynamique du pendule : On écarte le pendule de sa position d’équilibre stable d’un angle θm= π /20 dans le sens positif et le libère sans vitesse initiale à l’instant t = 0 . On repère la position du pendule à un instant t par l’abscisse angulaire θ défini entre le pendule et la verticale passant par le point O tel que θ = (OMo,OM)
1-1-Montrer en utilisant la relation fondamentale de la dynamique de rotation autour d’un axe fixe, que l’équation différentielle du mouvement du pendule dans un référentiel galiléen lié à la Terre s’écrit :
1-2- Calculer la période propre To du pendule.
1-3-Écrire l’équation horaire du mouvement du pendule.
1-4- En appliquant la deuxième loi de Newton dans la base de Frenet, trouver l’expression de la tension du fil T à un instant t en fonction de m, g, θ, L et v la vitesse linéaire du pendule simple. Calculer la valeur de T à l’instant t = To/ 4.
2Étude énergétique :
On fournit au pendule qui est immobile dans sa position d’équilibre stable une énergie cinétique de valeur EC = 264,6 J, et il tourne dans le sens positif
2-1-On choisit le plan horizontal passant par le point Mo comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur (voire figure). Écrire l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur EP du pendule à l’instant t en fonction de θ, m, L et g.
2-2-En se basant sur l’étude énergétique, déterminer la valeur maximale θmax de l’abscisse angulaire.
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