CORRIGES

EXERCICE I :

1. En vertu du principe fondamental de la dynamique, on a :

(1)

Dans la base de Frenet formée d’un vecteur tangentiel     dirigé dans le sens du mouvement et d’un vecteur normal dirigé vers le point de suspension du pendule, projetons le Principe Fondamental de la Dynamique :

sur    : (2)

 sur :  (3)

 L’équation (3) nous permet d’obtenir la tension du fil, tandis que l’équation (2) nous donne l’équation différentielle du mouvement :

 (4)

 Le terme en sinθ, rend cette équation différentielle non linéaire

Pour de petites oscillations, on peut assimiler sin θ à θ en radian. L’équation différentielle devient alors

On pose :

   (4)

Les solutions sont de la forme :

θ=θ_msin(ω₀t +φ) 

Les oscillations de faible amplitude d’un pendule simple sont donc sinusoïdales.

2. Le pendule oscille dans le plan vertical.

3.La pulsation propre d’un pendule simple est :

Sa période propre est :

EXERCICE II :

1.

2. Θ=θ_msin(ω₀t +φ) 

A t=0, Θ=0=θ_msin(φ)  => sin(φ)  =0 => φ=0 ou φ=π

A t=0,  => φ=π

θ=8sin(3,5t +π) 

θ=-8sin(3,5t) 

3.

4. θₘ = 8° = 0,14 rad 

5. Collision avec une butée à OA = 40 cm

Lorsque le pendule heurte la butée en A sa longueur effective devient l’=0,8-0,04=0,76 m

L’énergie mécanique se conserve (on néglige les pertes).

A la position d’équilibre Em=Ec+Ep (Ep=0)

A la nouvelle position extrême, Em=Ep’=mgl’(1-cosθ’_m)

Donc , mgl(1-cosθ_m)= mgl’(1-cosθ’_m)

0,8(1-cos8)= 0,76(1-cosθ’_m)

θ’_m=8,2

EXERCICE III

1-1

1-2

1-3. θ=θ_msin(ω₀t +φ) 

A t=0, Θ=θ_m=θ_msin(φ)  => sin(φ) =1 => φ=π/2

Θ=π/20sin(1,8t + π/2) 

1-4

Θ=π/20sin(1,8t + π/2) 

t = To/ 4   

=18x9,8cos0 -18x3x(-0,28)²=176,4 - 4,23=172,2N

2.

2,1-Expression de l’énergie potentielle

Ep=mgL(1-cosθ)=1/2mgLθ_m²

2.2-En absence des frottements, il y a conservation de l’énergie mécanique totale :

Em(M₀)=Em(M)

<=>Ec=Ep

<=>