BARYCENTRES

DEFINITION :

Soient n points du plan. M₁, M₂,...,M_n affectes des coefficients respectifs α₁, α₂, …. ,α_n. on appelle barycentre des points M₁, M₂, M₃,…, M_n affectes des coefficients respectifs α₁,α₂,…,α_n le point G tel que :

++…+

On appelle point pondéré toute écriture de la forme (A ; α) où A est un point et α un réel non nul.

α est appelé coefficient affecté au point A.

BARYCENTRE DE DEUX POINTS

Soient (A ;α ) et (B ; β ) deux points pondérés, on appelle barycentre de A et B affectes des coefficients α et β, l’unique point G vérifiant la relation :

α+

avec α + β ≠ 0

Exemple :

A B
1 3 Soient A et b deux points du plan affectes des coefficients respectifs 1 et 3

On écrit : G=bar

BARYCENTRE DE TROIS POINTS

Soient A, B et C, trois points du plan, α, β et ,trois coefficients réels tels que α+ β + 0

G est le barycentre des points A, B et C affectes des coefficients respectifs α, β et si et seulement si

α++

On montre que :

Exemple : Soient A,B et C, trois points du plan et G le barycentre de (A,-2),(B,1) et (C,2).

On a :

ISOBARYCENTRE

Lorsque les coefficients d’un système des points pondères sont tous égaux, le système admet un isobarycentre.

Remarques :

a-L’ isobarycentre de deux points A et B est le milieu du segment [AB].

Soient (A,α) et (B,α)

b-L ’isobarycentre de trois points A, B et C non alignes est le centre d’inertie ou centre de gravité du triangle ABC.

Propriété :

Le barycentre d’un système de points pondérés reste inchangé lorsqu’on multiplie les différents coefficients du système par un même nombre non-nul c’est-à-dire :

REDUCTION DES SOMMES VECTORIELLES

Soit G, le barycentre des points A et B affectes des coefficients respectifs α et β et M un point du plan.

COORDONNEES DU BARYCENTRE DANS UN REPERE ORTHONORME

G(x_G,y_G), A(s_A,y_A) et B(x_B,y_B)

Exemple :

Dans un repère orthonormé (O,I,J) du plan, on considère les points M(-1,2) et N(3,5). Calculons les coordonnées du point G, barycentre de (M,3) et (N,-1).

BARYCENTRE PARTIEL

Soit G le barycentre des points A, B et C affectes des coefficients respectifs α, β et . Soit H le barycentre des points A et B affectes des coefficients respectifs α et β.

Exemple :

Soit G barycentre de (A,3),(B,5) et (C,-3)

On pose : H barycentre de (B,5) et (C,-3)

Alors G est barycentre de (A,3) et (H,2)

UTILISATION DES BARYCENTRES

a) ALIGNEMENT DES POINTS

Pour montrer que 3 points sont alignés, il suffit d’écrire l’un comme barycentre des deux autres.

b) CONCOURANTES DES DROITES

Pour montrer que 3 droites (AB) ; (CD) et (EF) sont concourantes, il suffit de prouver l’existence d’un point G qui soit à la fois barycentre des points A et B, barycentre des points C et D et barycentre des points E et F.

EXERCICES

EXERCICE I :

1-Soient A et B, des points distincts, construire le barycentre G de (A,α) et (B,β) dans les cas suivants :

a) α =1 et β=2

b) α = -1 et β=2

c) α = 5 et β=3

2- Déterminer α et β pour que G soit le barycentre des points pondérés (A,α) et (B,β)

3-Preciser dans chaque cas les réels α et β tels que G soit le barycentre des points (A,α) et (B,β)

c-G est le symétrique de A par rapport a B

EXERCICE II :

Soit G le barycentre des points A, B et C affectes des coefficients respectifs 2,-1 et 3. Construire G

a-A partir du repère (A,

b-En utilisant le barycentre partiel

EXERCICE III :

Au sommet d’une plaque d’ornement triangulaire, on peut placer des petites masses de valeurs respectives 20,30 et 40 g. quel est la position du point G de la plaque à partir duquel on peut relier par un fil la plaque au plafond de manière à obtenir un système en équilibre.

EXERCICE IV : A et B sont des points du plan tels que AB=4 cm

1-Construire le barycentre C={(A,-1),(B,5)}

2-Determiner les réels x et y pour que B={ (A,x),(B,y)}

3-Determiner et construire l’ensemble des points M du plan tel que :