DENOMBREMENT

GENERALITES

Cardinal d’un ensemble fini

Ø Un ensemble qui n’a aucun élément ou qui possède un nombre fini d’éléments est ensemble fini.

Soit n un entier naturel et A un ensemble.

A= {1,2,3,4…n} est un ensemble fini si on peut compter tous ses éléments.

Ø Le nombre d’éléments d’un ensemble fini A est le cardinal de A. On le note Card(A).

Exemple : card (A)=n

Propriétés

Soient A, B et E trois ensembles finis.

On dit que A est une partie de B si et seulement si tous les éléments de A sont aussi éléments de B.

On dit que A est inclus dans B et on note A B

Exemple :

B= (1,2,3,4,5,6.7,8,9,0}

A= (1,2,3,4}

A B

Ø Le complémentaire de A dans E est l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A. On note :

Exemple :

E= { a, b, c, d}

A= { a, b }

Réunion et Intersection des parties d’un ensemble

La réunion de A et B est l’ensemble des éléments de E qui sont dans A ou dans B. On note : AUB

Exemple :

A={ a, b, c, d}

B={ a, b ,4.5}

AUB ={a,b,c,d,4,5}

L’intersection de A et B est l’ensemble des éléments de E qui sont à la fois dans A et dans B. On note : A⋂B

Exemple :

A={ a, b, c, d}

B={ a, b ,4.5}

A⋂B= {a, b}

Remarque :

Deux ensembles A et B sont disjoints si A⋂B= ∅.(∅ désigne l’ensemble vide)

Propriétés :

Ø Soit E un ensemble non vide.

Un ensemble de parties de E forme une partition de E si :

-Elles sont non vides.

-Elles sont deux à deux disjointes.

-Leur réunion est égale à E.

Exemple :

E : ensemble des lettres de l’alphabet français

A : ensemble des consonnes

B : ensemble des voyelles

A et B forment une partition de E

Ø Soient A et B deux ensembles non vides. On appelle produit cartésien de A par B l’ensemble noté A x B et défini par :

AxB= {(a,b) ; a ϵ A ;b ϵ B }.

Exemple :

A={a,b}

B=(1,2)

AxB={(a,1) ; (a,2) ; (b,1) ; (b,2) }

Remarque :

Card (AxB)=Card A x Card B .

OUTILS GRAPHIQUES DE DENOMBREMENT

Utilisation d’un Diagramme de VEEN

A⋂B= ∅.

Utilisation d’un Tableau a double entrée

Utilisation d’un Arbre a choix

ANALYSE COMBINATOIRE

p-uplets

Définition : Soit E un ensemble fini à n éléments, p un entier naturel non nul.

On appelle p-uplet ou p-liste d’élément de E une suite ordonnée de p éléments de E non nécessairement tous distincts.

C’est un élément de l’ensemble :

E^p =E x E x…x E

Propriété :

. Le nombre de p-uplet de E est n^p

Remarque :

· Un p-uplet est une disposition ordonnée dans laquelle un même élément peut être répété jusqu’à p fois.

· On utilise les p-uplets dans une épreuve à tirages successifs avec remise.

· Deux p-uplets diffèrent soit par la nature des éléments de E qui le constituent, soit par l’ordre des éléments.

Exemple :

L’épreuve du lancer de dé comporte 6 résultats possibles. On lance le dé 4 fois et on note les résultats obtenus. Il y a 6⁴=64 résultats possibles. Le résultat d’un tel évènement est ce qu’on appelle une 4-liste dans un ensemble a 6 éléments.

Arrangements

Définition :

Soit E un ensemble fini à n éléments, p un entier naturel non nul plus petit que n. On appelle arrangement de p élément de E, tout p-uplet formés d’éléments 2 à 2 distincts.

Propriété : Soit E un ensemble à n éléments, p un entier naturel non nul plus petit que n. le nombre d’arrangements de p éléments de E est :

Remarques :

· Un arrangement est une disposition ordonnée sans répétition.

· On utilise les arrangements dans une épreuve à tirage successifs sans remise.

Notion de factoriel :

Propriété :

Exemple : On tire 4 cartes successivement sans remise dans un jeu de 32 cartes. Il s’agit du nombre d’arrangements de 4 éléments pris dans un ensemble a 32 éléments.

Permutations

Définition :

Soit E un ensemble fini non vide à n éléments. On appelle permutation de E tout arrangement ou p-uplet sans répétition des n éléments de E.

Remarques.

· Le nombre de permutations d’un ensemble fini E à n élément est :

· Le tirage successif sans remise de n objets parmi n est assimilable à une permutation des n éléments d’un ensemble.

· Une anagramme d’un mot dont les lettres sont toutes distinctes est une permutation des lettres de ce mot.

Exemple : on donne l’ensemble E={1,2,3} 8n peut former 3 ! =6 nombres de 3 chiffres.

Combinaisons

Définition :

On appelle combinaison de p éléments de E toute partie (sous ensemble) de E ayant p élément.

Propriété :

Le nombre de combinaison de p éléments d’un ensemble à n éléments est :

Remarques :

· Une combinaison est une disposition non ordonnée et sans répétition.

· On utilise les combinaisons dans une épreuve à tirages simultanés.

Exemple : Une urne contient 6 boules numérotés de 1 à 6. On tire simultanément 2 boules. Il y a de tirages possibles

Propriétés :

Recapitulons

Pour déterminer le nombre de tirages de p éléments d’un ensemble E a n éléments (p≤n), on peut utiliser le tableau suivant :

EXERCICES

EXERCICE I: soient 3 ensembles E, A et B.

1. Ecrire en extension : A, B, E, AUB, A⋂B,

2.A et B forment-ils une partition E ? pourquoi ?

3.Donner card(AUB) et card(A⋂B).

Vérifier que card(AUB)= card(A)+ card(B) - card(A⋂B)

EXERCICE II:

Un restaurant propose sur sa carte 3 entrées, 4 plats de résistance et 2 desserts.

a) Combien de menus différents composés d’une entrée, d’un plat et d’un dessert peut-on constituer ?

b) Même question si le dessert est une tarte aux pommes imposée.

EXERCICE III :

Dans une classe de première littéraire de 50 élèves, 24 élèves ont 16 ans,14 élèves ont 17 ans et les autres ont plus de 17 ans. 23 élèves ont opté pour l’espagnol comme langue vivante II, l’espagnol et les autres ont opté pour l’allemand comme langue vivante II,13 élèves ont16 ans et font l’espagnol ;10% des élèves ont plus de 17 ans et font l’allemand.

1.Quelle est la répartition en âge des élèves qui ne font pas d’espagnol ?

2.Combien d’élèves n’ont pas 16 ans et ne font pas espagnol ?

EXERCICE IV :

Un magasin souhaite faire une promotion sur des lampes de bureau et de lampes de salon. Ces lampes sont couleur blanche, noire et rouge. Sur ces 200 lampes,25% sont des lampes de salon. On sait que 30% des lampes sont blanches. Il y a 60 lampes rouges et parmi elles, 20% sont des lampes de salon. Le quart des lampes noires est constitué de lampes de salon.

Compléter le tableau a double entrée suivant :

EXERCICE V:

1.Determiner le nombre de façons distinctes de ranger 3 livres dans 4 tiroirs sachant que plus d’un livre peuvent être ranges dans un même tiroir.

2.Pour une course impliquant 18 chevaux, déterminer le nombre des 3 premiers chevaux dans l’ordre et sans ex-aequo.

3.Determiner le nombre de façons de ranger 6 voitures en disposant de 10 parkings.

4. Combien de mots deux a deux distincts peut-on former avec les lettres REGAIN ? TABLEAU ?

EXERCICE VI :

On dispose d’un jeu de carte de 32 cartes. Un jeu de 32 cartes est composé de 4 couleurs (Trèfle, Carreau, Cœur et Pique). Dans chaque couleur il y a 8 cartes.

a) Calculer le nombre de façons de tirer simultanément 4 cartes parmi 32.

b) déterminer le nombre de combinaisons de 5 cartes ayant exactement 3 As

c) déterminer le nombre de combinaisons de 5 cartes contenant au plus 3 trèfles.

d) Calculer le nombre de façons de tirer au moins un As.

EXERCICE VII :

Une classe composée de 18 filles et 16 garçons va élire les 4 délégués. Dans cet exercice, on ne distingue pas les délégués et les délégués-adjoints.

a) Combien existe-t-il de possibilités pour cette élection ?

b) Emma dit qu’elle ne souhaite pas être élue si Bastien est élu. Dans ces conditions, combien existe-t-il de possibilités ?

CORRIGES

EXERCICE I :

1. A={0,1,4,5,7}

B={1,3,7,17}

A⋂B={1,7}

AUB={0,1,4,5,7,3,17)

={3,17,9,11}

2.non car A et B ne sont pas disjoints.

3. card(AUB)=7 card(A⋂B)=2 card(A)=5 card(B)=4

=>7=5+4-2

EXERCICE II:

a) Soit 𝐸 l’ensemble des entrées, 𝑃 celui des plats et 𝐷 celui des desserts. On considère alors les triplets de la forme (entrée, plat, dessert) éléments de 𝐸 × 𝑃 × 𝐷. D’après le principe multiplicatif, on a : c𝑎𝑟𝑑(𝐸 ×𝑃×𝐷) =𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐸)×𝐶𝑎𝑟𝑑(𝑃)×𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐷) = 3×4×2 = 24. Il existe 24 menus différents.

b) 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐸 × 𝑃) = 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐸)×𝐶𝑎𝑟𝑑(𝑃) = 3×4 = 12 Il existe 12 menus différents dont le dessert est une tarte aux pommes.

EXERCICE III :

EXERCICE IV :

GENERALITES

Cardinal d’un ensemble fini

Ø Un ensemble qui n’a aucun élément ou qui possède un nombre fini d’éléments est ensemble fini.

Soit n un entier naturel et A un ensemble.

A= {1,2,3,4…n} est un ensemble fini si on peut compter tous ses éléments.

Ø Le nombre d’éléments d’un ensemble fini A est le cardinal de A. On le note Card(A).

Exemple : card (A)=n

Propriétés

Soient A, B et E trois ensembles finis.

On dit que A est une partie de B si et seulement si tous les éléments de A sont aussi éléments de B.

On dit que A est inclus dans B et on note A B

Exemple :

B= (1,2,3,4,5,6.7,8,9,0}

A= (1,2,3,4}

A B

Ø Le complémentaire de A dans E est l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A. On note :

Exemple :

E= { a, b, c, d}

A= { a, b }

Réunion et Intersection des parties d’un ensemble

La réunion de A et B est l’ensemble des éléments de E qui sont dans A ou dans B. On note : AUB

Exemple :

A={ a, b, c, d}

B={ a, b ,4.5}

AUB ={a,b,c,d,4,5}

L’intersection de A et B est l’ensemble des éléments de E qui sont à la fois dans A et dans B. On note : A⋂B

Exemple :

A={ a, b, c, d}

B={ a, b ,4.5}

A⋂B= {a, b}

Remarque :

Deux ensembles A et B sont disjoints si A⋂B= ∅.(∅ désigne l’ensemble vide)

Propriétés :

Ø Soit E un ensemble non vide.

Un ensemble de parties de E forme une partition de E si :

-Elles sont non vides.

-Elles sont deux à deux disjointes.

-Leur réunion est égale à E.

Exemple :

E : ensemble des lettres de l’alphabet français

A : ensemble des consonnes

B : ensemble des voyelles

A et B forment une partition de E

Ø Soient A et B deux ensembles non vides. On appelle produit cartésien de A par B l’ensemble noté A x B et défini par :

AxB= {(a,b) ; a ϵ A ;b ϵ B }.

Exemple :

A={a,b}

B=(1,2)

AxB={(a,1) ; (a,2) ; (b,1) ; (b,2) }

Remarque :

Card (AxB)=Card A x Card B .

OUTILS GRAPHIQUES DE DENOMBREMENT

Utilisation d’un Diagramme de VEEN

A⋂B= ∅.

Utilisation d’un Tableau a double entrée

Utilisation d’un Arbre a choix

ANALYSE COMBINATOIRE

p-uplets

Définition : Soit E un ensemble fini à n éléments, p un entier naturel non nul.

On appelle p-uplet ou p-liste d’élément de E une suite ordonnée de p éléments de E non nécessairement tous distincts.

C’est un élément de l’ensemble :

Ep =E x E x…x E

Propriété :

. Le nombre de p-uplet de E est np

Remarque :

· Un p-uplet est une disposition ordonnée dans laquelle un même élément peut être répété jusqu’à p fois.

· On utilise les p-uplets dans une épreuve à tirages successifs avec remise.

· Deux p-uplets diffèrent soit par la nature des éléments de E qui le constituent, soit par l’ordre des éléments.

Exemple :

L’épreuve du lancer de dé comporte 6 résultats possibles. On lance le dé 4 fois et on note les résultats obtenus. Il y a 64=64 résultats possibles. Le résultat d’un tel évènement est ce qu’on appelle une 4-liste dans un ensemble a 6 éléments.

Arrangements

Définition :

Soit E un ensemble fini à n éléments, p un entier naturel non nul plus petit que n. On appelle arrangement de p élément de E, tout p-uplet formés d’éléments 2 à 2 distincts.

Propriété : Soit E un ensemble à n éléments, p un entier naturel non nul plus petit que n. le nombre d’arrangements de p éléments de E est :

Remarques :

· Un arrangement est une disposition ordonnée sans répétition.

· On utilise les arrangements dans une épreuve à tirage successifs sans remise.

Notion de factoriel :

Propriété :

Exemple : On tire 4 cartes successivement sans remise dans un jeu de 32 cartes. Il s’agit du nombre d’arrangements de 4 éléments pris dans un ensemble a 32 éléments.

E^p =E x E x…x E

. Le nombre de p-uplet de E est n^p

L’épreuve du lancer de dé comporte 6 résultats possibles. On lance le dé 4 fois et on note les résultats obtenus. Il y a 6⁴=64 résultats possibles. Le résultat d’un tel évènement est ce qu’on appelle une 4-liste dans un ensemble a 6 éléments.

n^p