SYSTEMES LINEAIRES
Système linéaire de trois équations à
3 inconnues
Méthode du
pivot de GAUSS.
Soit un
système linéaire (S) défini comme suit :
La méthode du pivot de GAUSS consiste à transformer un système linéaire en un
système triangulaire équivalent en exécutant des opérations
élémentaires sur les lignes :
-échange de deux lignes Li
et Lj (Li↔Lj).
-remplacement de la ligne Li
par la combinaison λLi obtenu en
multipliant chaque coefficient de Li par le nombre réel λ
suppose non nul (Li←λLj).
-remplacement de la ligne Li
par la combinaison αLi+βLj
obtenu en additionnant membre a membre les lignes αLi et βLj, α étant un nombre réel non nul et
β un nombre quelconque (Li← αLi+βLj).
On doit obtenir un système équivalent au
système (S’) ci-après :
Remarque :
-Deux systèmes sont dits équivalents lorsqu’ils ont le même ensemble solution.
-Lorsqu’on remplace une équation d’un système par la combinaison linéaire des
équations du système, On obtient un système équivalent au système initial.
La méthode du pivot de GAUSS se déroule
comme suit :
I- Fixer une des trois équations qu’on appelle pivot (supposons que notre pivot
ici est (L1))
II- Utiliser le pivot pour éliminer l’inconnue x dans les équations (L2)
et (L3); on obtient ainsi les équations (L’2) et
(L’3) respectivement qui ne dépendent que des inconnues y et z.
III- On fixe une des équations (L’2) et (L’3)
(supposons qu’on a fixé (L’2) puis on l’utilise pour éliminer
l’inconnue y dans l’équation (L’3)); ce nous conduit à
l’équation (L’’3) qui ne dépend que de z.
IV- Le système triangulaire ( S’) est
donc le système formé par (L1),(L’2) et (L’’3)dans
cet ordre pour ce cas de figure.
Exemple : Soit le système (S) suivant :
Fixons
la première équation L1 comme pivot de Gauss et transformons le
système (S’) en un système triangulaire équivalent.
Pour
éliminer x dans L1 et dans L3
On
remplace : L2 par L1+2L2
L3 par -2L1 +L3
On
obtient le système suivant :
Pour
éliminer y dans L’3
On
remplace L’3 par 4L’2+7L’3
On
obtient le système triangulaire suivant :
S=
{(-1/3 ;0 ;2/3)}
Système linéaire de deux équations à
3 inconnues
Exemple :
Choisissons
l’une des trois inconnues, par exemple z comme paramètre. On ramène le système
(S) a un système (S’) de deux équations a deux
inconnues :
Posons z= λ
ϵ IR
On a :
Trouvons les
valeurs de x et y en fonction de λ
L1+2L2
=>3y=1+λ-4-4λ =-3-3λ =>y=-1-λ
x=y+2+2λ=-1-λ+2+2λ=1+λ
La résolution de
(S’) conduit à la solution définie par : x=1+λ ; y=-1-λ ;z=λ (λ ϵ IR)
Le système (S)
a donc une inimité de solutions constituées des triplets (1+λ ;
-1-λ ; λ)
EXERCICES
EXERCICE I:
1. Résoudre
par substitution, puis par la méthode du pivot de Gauss le système :
2. Résoudre
par substitution, puis par la méthode du pivot de Gauss le système :
3. Résoudre par substitution, puis par la
méthode du pivot de Gauss le système :
4. Résoudre
5.
EXERCICE II:
Anna se
rend à la banque et retire au guichet une somme de 725€.La banquière lui
remet 45 billets dont :
- des billets de 5€
-des billets de 10€
-des billets de 20€
A la sortie de la banque,
elle se rend dans un supermarché. Après son passage la caisse, il lui reste la
moitié des billets de 10€, la moitié des billets de 20€, et toujours le même
nombre de billets de 5€ et une somme totale de 375€.
Combien Anna avait-elle
des billets de 5€,10€ et 20€ à la sortie de la banque ?
EXERCICE III:
Un potier fabrique trois
types différents A,B,C et D de canaris.
Pour fabriquer un canari
de type A, le potier a besoin de : 40kg d’argile.60litres d’eau et 15 kg
de bois de chauffage.
Pour fabriquer un canari de type B, le potier a besoin de : 18kg d’argile.20litres
d’eau et 7 kg de bois de chauffage.
Pour fabriquer un canari
de type C, le potier a besoin de : 70kg d’argile.110litres d’eau et 35 kg
de bois de chauffage
En une semaine, le
potier utilise pour la fabrication de ses canaris :3656kg d’argile,5040litres
d’eau et 1494 kg de bois de chauffage
Déterminer le nombre de
canaris de chaque type que ce potier fabrique ainsi en une semaine..
CORRIGES :
EXERCICE I :
1.
Par substitution :
De
la deuxième équation (L2), on tire x en fonction de y et z
On
remplace x dans les deux autres
=>
.
x=11+2y-2z < =
> x=11+2(-2)-2(3)=1 =>.
S=
Par
le pivot de Gauss
Choisissons
L1 comme pivot
Faisons
L1-2L2 =>
0x + 7y - 5z= -29 =>7y – 5z= -29
Faisons
5L1-2L3=>
0x + 13y - 13z= -65 =>13y – 13z= -65
Le
système devient :
Faisons
13L’2-7L’3=>
. –26z=-78
Le
système devient :
De
–26z=-78 => z=3
De
7x-5z=-29 =>7y-5(3)=-29 => 7y=-14 =>y=-2
De 2x
+3y-z=-7 => 2x + 3(-2)-3=-7=>2x=2=>x=1
4.
5.
EXERCICE II :
Soient :
x : le nombre de
billets de 5€
y : le nombre de billets de 10€
z : le nombre de billets de 20€
Valeur totale des billets sortis de la
banque :
5x + 10y +20z=725
Nombre total des billets :
x+y+z=45
Valeur totale des billets sortis de du
supermarché : 5x + (10)(y/2) +(20)(z/2)
=375
=>
Choisissons
L1 comme pivot
L1-L2 donne(x+y+z=45)-(x+2y+4z=145)
=> -y-3z=-100
L1-L3 donne (x+y+z=45) -
(x+y+2z=75) =>-z=-30
Le système devient 
De -y-3z=-100 <=>-y-3(30)
=-100=> y=10
De x+y+z=45<=>x +10
+30=45=>x=5
EXERCICE III:
S={(38 ;72 ;12)}
En une semaine, le potier fabrique 38
canaris, de type A,72 canaris de type B et 12 canaris de type C.
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