SYSTEMES D'EQUATIONS ET D'INEQUATIONS

SYSTEMES D'EQUATIONS

Définition:

On appelle système linéaire de deux équations dansR²tout système de deux équations de premier degré de la forme:

Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues dans IRXIR revient à déterminer les couples(x,y) solution de ce système, La résolution d’un tel système se fait par substitution ou par combinaison linéaire.

a) Méthode par substitution
On procède comme suit :
Dans l’une des équations, on exprime l’une des inconnues en fonction de la deuxième.
On remplace dans l’autre équation cette inconnue par son expression déterminée plus.
haut, puis on résout cette équation à une inconnue pour trouver la valeur de la deuxième inconnue.
On remplace cette deuxième inconnue par sa valeur dans l’expression de la première afin de trouver aussi la valeur de la première inconnue.

Exemple:Résoudre dans IR

Résolution:

De la première équation:2x+3y=1  => y=(1-2x)/3

On remplace y par cette expression dans la deuxième équation

< = > 4x-5((1-2x) /3) =2

< = > 4x –5/3+10x/3=2

< = >22x/3=11/3

=>   x=11/22=1/2

On peut trouver y en remplaçant x par

y=(1-2x)/3y=(1-2(1/2)/3=0

=>S={(1/2,0)}

b) Méthode par combinaisonlinéaire

Elle consiste à multiplier chacune des deux équationspar des coefficients appropriésde façon àéliminerune des deux variables et à déterminer l’autre par la suite.

Exemple:Résoudredans IR

Multiplions la première équation par 3 et la seconde par 2, on a:

En faisant l’addition membre à membre, on obtient:

0x +y= -1=> y=-1

On remplace x pardans l’une des deux équations:

=> x=-2

S={(-2,-1)}

SYSTEME D’INEQUATION A UNE INCONNUE

            Il s’agit d’un groupe de plusieurs inéquations ayant la même inconnue. Pour résoudre un tel système, on résout séparément chaque inéquation puis on fait l’intersection de leurs différents ensembles solutions pour obtenir la solution du système.

Exemples:

2x-3<0                                                                      

2x<3                                                                          

x<3/2             =>S₁=]3/2,→]                                                                         

 4x+5≥0

4x≥-5

x≥-5/4             =>S₂ =[-5/2,→[       

S=S₁⋂S₂=[-5/4,3/2[

NB:Pour trouver les intersecions et les reunions des intervalles, on utilise une droite graduee.

EXERCICES

EXERCICE I: Résoudre par substitution et par combinaison linéaire  les systèmes suivantdans IRxIR:

2.

EXERCICE II: Résoudre les inéquations suivantes:

1.

2.

3.

EXERCICE III:

Situation:

Pendant la période de pénurie de ciment, deux entrepreneurs A et B achètent ensemble 12 tonnes de ciment. Si on ajoute 3 tonnes de ciment a la part de A, on obtient le double de la part de B. La masse de sac de ciment est de 50 kg et le camion ne peut transporter que 500kg.

Taches:

1.Determine en tonnes, la part de ciment de chacun des entrepreneurs A et B.

2. Sachant qu’une tonne correspond à 1000kg, combien de sacs de ciment aura chacun des entrepreneurs.

3.Combien de tours fera le camion pour transporter les 12 tonnes de ciment?

EXERCICE IV:

Situation:

Un planteur d’arbres fruitiers achète 76 plants: des manguiers a 1000frs et des avocatiers a 1290frs le plant, sa facture s’élève à 89340 frs. Chaque manguier a produit en moyenne 50 mangues qu’il a vendu à raison de 50 frs l’une, 70 avocats qu’il a vendu à raison de 100 frs l’une, avec une perte de 10% d’avocats produits.

Taches:

1.Determiner le nombre de plants de manguiers et le nombre de plants d’avocatiers achetés par le planteur.

2. A-t-il réalisé un bénéficesur les mangues ? Si oui, lequel?

3. A-t-il réalisé un bénéficesur les avocats ? Si oui, lequel?

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CORRIGES

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