EQUATIONS ET INEQUATIONS TRIGONOMETRIQUES

EQUATIONS

Equation du type sinx=α

Si α ϵ [-1,1], alors il existe un réel β tel que sinβ=α

D’où:

Exemple1: sinx=-Ѵ2/2

sinx=-Ѵ2/2 <=> sinx=sin5π/4 =>

Exemple 2: sin(x+π)=sin(π/3-2x)

Exemple 3: sinx=-Ѵ2/2 dans [0,2π]

Il faut en plus que 0<x<2π donc que 0<5π/4 +2kπ<2π

0<5π/4 +2kπ<2π

-5π/4 < +2kπ<2π -5π/4=3π/4

-(5/4 )/2<k<3/4)/2=

-0,625<k<0,375

k peut prendre la valeur 0

k=0 x=5π/4 +2(0)π= 5π/4

x=-π/4 +2(0)π=-π/4

S_[0,2π] ={ -π/4, 5π/4 }

Equation du type cosx=α

Si α ϵ [-1,1], alors il existe un réel β tel que cosβ=α

D’où:

Exemple1: cosx=1/2

cosx=1/2 <=> cosx=cosπ/3 =>

S_IR={

Exemple 2: cos(2x-π/2)=cos(3x+π) <=> ou avec kϵZ

Exemple 3: cosx=1/2dans [0,2π]

Il faut en plus que 0<x<2π donc que 0<π/3 +2kπ<2π

0<π/3 +2kπ<2π

0 -π/3 < +2kπ<2π -π/3=5π/3

(-1/3 )/2<k<(5/3)/2

-0,167<k<1,67

k peut prendre la valeur 0 ,1

k=0 x= π/3 +2(0)π= π/3

x= -π/3 +2(0)π= -π/3 ou 5π/3

k=1 x= π/3 +2(1)π= 7π/3 ou π/3

x=- π/3 +2(1)π= 5π/3

S_[0,2π] ={ π/3 , 5π/3 }

Equation du type sinx=cosa

sinx=cosa <=> sinx=sin (π/2-a) et cosa=cos(π/2-a)

Or sin (π/2-a)=cosa

cos(π/2-x)=sinx

<=> sinx=cosa

Equation du type tanx=α

Si α ϵIR, il existe un réel β tel que tanβ=α

Exemple: tan(x-π/6) =tan(π/4)

x-π/6=π/4 + kπ=> x=5π/12 +kπ, kϵZ

S_IR ={5π/12 +kπ, kϵZ]

Équation du type acosx + bsinx-c=0

Exemple: Résoudre cosx +Ѵ3 sinx=-Ѵ2

=> l’équation admet des solutions réelles,

=> avec kϵZ

S_IR={} kϵZ

INEQUATIONS TRIGONOMETRIQUES

Inéquation du type sinx <b, sinx ≥b :

Exemple 1: sinx ≤ 1/2

sinx=1/2 < =>sinx=sinπ/6

1ere méthode: utiliser le cercle trigonométrique

On place sur le cercle trigonométrique les images de ces solutions.

Les points dont les images ont pour abscisses sont les points appartenant à l’arc orienté en rouge sur la figure ci-dessous,

donc si

En tournant toujours dans le sens mathématique positif et en notant les solutions sur le premier tour de cercle, nous lisons sur le graphique :

· Dans l’intervalle] -π,π] =>

S_]
-π,π] = ]- π,π/6] U [5π/6, π]

· Dans l’intervalle [0,2π[ =>

S_{] 0,2π]} =[0,π/6] U [5π/6,2π[

2eme méthode: utiliser une fonction

On étudie la courbe f(x)=sinx-1/2 alors f(x)≤0

x	0 Π 5π/6 2π
f(x)	- 0 + 0 -

f(π/3)=sin(π/3) -1/2=Ѵ3/2 -1 ≥0 or π/3 ϵ [ π/6,5π/6]

S_{[ 0,2π[} =[0,π/6] U [5π/6, 2π[

Inéquation du type cosx < a, cosx ≥ a

Exemple: cosx ≤ -Ѵ2/2

cosx=cos3π/4 <= >

On place sur le cercle trigonométrique les images de ces solutions.

Les points dont les images ont pour abscisses les points appartenant à l’arc orienté MM’, donc si

L’ensemble des solutions est donc la réunion de tous les intervalles de la forme

où k est un entier relatif.

Inéquation du type tan<a, tanx ≥ b

Exemple: tan(3x+π/2)>Ѵ3

tan(3x+π/2)=Ѵ3 =tanπ/3 < =>(3x+π/2)= π/3 +kπ

< =>(3x) = π/3-π/2 +kπ

=>x=-π/18 +kπ/3

D’après le graphique:

S_IR=]-π/18 +kπ/3,0[

EXERCICES

EXERCICE I:

1. Résoudre:

a. cosx = -Ѵ3/2

b.Ѵ3cosx-3sinx = 3

2.On considère un nombre réel x de l’intervalle [0,π/2] tel que sinx=1/4

a- Déterminer la valeur exacte de cosx

b-Déterminer avec la calculatrice en mode radian, une valeur approchée de x au millième près.

c- Vérifier à l’aide de la calculatrice la valeur obtenue en a.

3.Utiliser le cercle trigonométrique ci-dessous pour déterminer l’ensemble des solutions des équations:

a. cosx=-1/2 dans [0,π]

b. sinx=-/2 dans[-π/2,π/2]

c. 1-cos3x=0 dans [-π,π]

EXERCICE II: Résoudre dans l’intervalle I les inéquations suivantes:

1.2sinx-Ѵ3 ≥ 0 I= IR

2.cos(x-π/3) ≥ Ѵ3/2 I= IR

3. sinx ≥ 1/2 I= ] -π, π] ; I= ] 0,2π]; I= IR

4. sin2x ≤ 1/2 I= ] -π, π] ; I= ] 0,2π]; I= IR

5. cosx ≤ Ѵ2/2 I= ] -π, π] ; I= ] 0,2π]

EXERCICE III:

1. Développer cos(x+y) + cos(x-y)

2.Resoudre dans IR le système:

EXERCICE IV:

1.a) calculer (Ѵ2 +1)²

b) résoudre dans [0,2π] l’équation: 2cos²x + (Ѵ2 -1)cosx-Ѵ2/2=0

2. résoudre dans [0,2π] l’inéquation: 2cos²x + (Ѵ2 -1)cosx-Ѵ2/2≥0

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CORRIGES

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