CORRIGES

EXERCICE I:

1.a.

b. Ѵ3cosx-3sinx=3

=2Ѵ3

=> l’équation admet des solutions réelles,

=

=> avec kϵZ

{} kϵZ

// Ѵ3cosx-3sinx=3  <=> cosx-Ѵ3sinx=Ѵ3

                                    <=> cosx-tanπ/3sinx=Ѵ3

                      <=>cosπ/3 cosx-sinπ/3sinx=Ѵ3

                                      <=> cos(x+π/3)=Ѵ3/2

<=> cos(x+π/3)=cosπ/6

2.a-

3.Utiliser le cercle trigonométrique ci-dessous pour déterminer l’ensemble des solutions des équations:

a. cosx=-1/2 dans [0,π]

b. sinx=-/2  dans[-π/2,π/2]

c. 1-cos3x=0   dans [-π,π]

3.a-

b-

c-

EXERCICE II:

1. 2sinx-Ѵ3≥0

2sinx-Ѵ3=0 <= >sinx=Ѵ3/2=sinπ/3 => kϵZ

D’après le graphique:

S=[π/3 ,2π/3  kϵZ

2. cos(x-π/3) ≥Ѵ3/2

 cos(x-π/3)=Ѵ3/2=cosπ/6 =>

S=[π/6 ,π/2  kϵZ ]

3. sinx≥1/2

sinx=1/2 < =>sinx=sinπ/6 =>

=>

Dans l’intervalle] -π, π]

-

k peut prendre le valeurs 0

k=0  

S_{] -π,π]} = [π/6,5π/6]

Dans l’intervalle] 0,2π]

k peut prendre le valeurs 0

k=0   x =

         x=

L’arc qui va de π/6 a 5π/6 comprend tous les points solution de cette inéquation.

S_[0,2π] =[ π/6,5π/6]

Dans IR

L’ensemble des solutions dans IR est la réunion des intervalles de la forme [ ,  ]

4. sin2x ≤ 1/2

sin2x=sin(π/6)

<=>kϵZ

<=>kϵZ

Dans l’intervalle] -π,π]

k peut prendre la valeur 0

k=0    x=-

 S_{] -π,π]} = ]- π,π/12] U [5π/12, π]

Dans l’intervalle] 0,2π]

k peut prendre la valeur 0

k=0   x =

x=

S_{] 0,2π]} =[0,π/12] U [5π/12,2π[

Dans IR

L’ensemble des solutions dans IR est la réunion des intervalles de la forme] ,

5. cosx ≤Ѵ2/2

Dans l’intervalle] -π, π] =>S_{] -π,π]} =]-π,-π/4]U[π/4,π]

Dans l’intervalle [0,2π[ =>S_{[ 0,2π[} =[π/4,7π/4]

EXERCICE III:

1.

cos(x+y) + cos(x-y) =cosxcosy-sinxsiny+cosxcosy+sinxsiny=2 cosxcosy

2.resoudre dans IR le système:

 =>

EXERCICE IV:

1.a) calcul de (Ѵ2 +1)²

(Ѵ2 +1)(Ѵ2 +1)=3+2Ѵ2

b) Equation: 2cos²x + (Ѵ2 -1)cosx-Ѵ2/2=0 dans [0,2π]

posons X=cosx

L’équation devient: X²+(Ѵ2 -1)X- Ѵ2/2=0

Δ=(Ѵ2 -1)²-4(2)(- Ѵ2/2)=3+2Ѵ2=(Ѵ2 +1)²

·

Dans [0,2π] 

-0,375<k<0.625

k=0 =>x=

Dans [0,2π] 

0,375<k<1,3

K=1

·

Dans [0,2π]

-0,16<k<0,83

k=0 =>

Dans [0,2π]

0,16<k<1,16

k=1 =>

S_[0.2π] =

2. résoudre dans [0,2π] l’inéquation: 2cos²x + (Ѵ2 -1)cosx-Ѵ2/2 ≥0

Soit f(x)= : 2cos²x + (Ѵ2 -1)cosx-Ѵ2/2 ≥0

x	0                 π/3               3π/4              5π/4                5π/3            2π
cosx-1/2	+	-	-	-	+
cosx+Ѵ2/2	+	+	-	+	+
f(x)	+	-	+	-	+

f(3π/4)=cos(3π/4)-1/2=- Ѵ2/2 -1/2 <0

 f(π/3)=cos(π/3)+   Ѵ2/2 =1/2+ Ѵ2/2 >0

S_[0,2π] =[0, π/3] U [  3π/4, 5π/4] U [ 5π/3,2π[