ÉQUATIONS ET INEQUATIONS

ÉQUATIONS

Ø Une équation de premier degré d’inconnue x dans IR est une égalité entre deux polynômes du premier degré ou alors entre un polynôme de premier degré et 0.

Ø Résoudre une équation de premier degré dans IR revient à déterminer les valeurs pouvant être prises par l’inconnue x et de les regrouper dans un ensemble appelé ensemble solution et généralement noté S.

EQUATION DE LA FORME x +a = b

Ø Dans une équation, lorsqu’un terme change de membre (traverse l’égalité), alors le signe de ce terme change aussi :

x+b=0 => x=b-a

L’ensemble des solutions est S={b-a}

Exemple: Résoudre dans IR: x+ 4= 𝟕et x-3=10

x+4=7 <= >x=7-4=3

x-3=10 <= >x=10+3=13

EQUATION DE LA FORME ax = b

Ø Pour deux réels donnés a 𝒆t b avec a ≠ 𝟎 ;

L’équation ax = b équivaut à x =b/a

S= {b/a }
Exemple
Résoudre dans IR: - 6x = 3 => -

S ={-1/2}

EQUATION DE LA FORME ax +b = 𝒄x + 𝒅

Pour résoudre une telle équation,
Ø On regroupe d’abord les termes contenant l’inconnue d’un côté de l’égalité (de préférence du côté gauche) et les termes constants (sans inconnue) dans l’autre côté de l’égalité en prenant soin de changer le signe des termes qui traversent l’égalité.
Ø On réduit ensuite l’équation obtenue, jusqu’à obtenir une équation de la forme ax=b pour avoir x=b/a

Exemple
Résoudre dans IR: 2x – 3 = 4x + 𝟕 ; - 6x- 𝟗 = x – 6

2x-3=4x+7 <=>2x-4x=7+3

<=>-2x=10 =>x = 10/2=-5

S={-5}

- 6x- 𝟗 = x – 6 < = > -6x-x=-6+9

< = > -7x=3. => x =-7/3

S = {-7/3}

Remarque: Si lors de la résolution, on obtient

· 0x=0, on a une infinité de solution: S=IR

· 0x=b avec b non nul, il n’y a pas de solution: S =ø ou S={ } (ensemble vide)

Exemple: Résoudre dans IR:

(4x-6)/2= 2x-3; -x+18=3(x+6)-4x.

(4x-6)/2= 2x-3<=>4x-6=2(2x-3)

< = > 4x-4x=-6+8

< = > 0x=2 =>S={}

-x+18=3(x+6)-4x. <= > -x+18=3x+18-4x

< = > -x-3x+4x=18-18

< = > 0x=0 => S=IR

EQUATION DE LA FORME (ax +b)(cx+d)=0

Exemple:

Résoudre dans IR:

(2x +1 )( x- 4) = 𝟎 ; x(-x+5)= 𝟎.

Solution:

(2x +1 )( x- 4) = 𝟎 <=> S={-1/2;4)

x ( -x+5) = 𝟎 <=> S={0;5}

EQUATION DE LA FORME

On a:

f.(ax+b) = e.(cx + d) ,on revient au cas précédent

Exemple: Résoudre:

Solution:

2(2x+1)=3(x-2) équivaut à 4x +2=3x-6 équivaut 4x-3x=-6-2 donc x=-8

EQUATION DE LA FORME ax² +bx+c=0

Utilisation du début du carre

Soit à résoudre l’équation x²+4x-5=0

x²+4x est le début d’un carré:(x+2)²

or :(x+2)²= x²+4x+4

=> x²+4x=(x+2)²– 4

donc x²+4x+5=(x+2)²– 4 -5

x²+4x+5=0 < => (x+2)²– 4 -5=0

< => (x+2)²– 9 =0

Sachant que :a² -b²=(a-b)(a+b)

(x+2)²– 9=[(x+2)-3][(x+2)+3]=0

< => (x-1)(x+5)=0 => x=1 ou x=-5

L’expression (x+2)²– 9 est la forme canonique

NB:En général, p(x)=ax2 +bx c, la forme canonique de p(x)=a[(x+b/2a)² – Δ/4a² ]

Δ=b²-4ac est le discriminant

Si x₁ et x₂ sont deux racines de p(x), on a p(x)=a(x-x₁)(x-x₂). C’est la forme factorisée de p(x).

INEQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ

Définition

Ø Une inéquation de premier degré dans IR est une inégalité entre deux polynômes du premier degré ou alors entre un polynôme de premier degré et 0.
Ø Résoudre dans IR une inéquation de premier degré c’est déterminer l’ensemble de tous les nombres qui vérifient cette inéquation. Cet ensemble est appelé ensemble solution noté S et est très souvent un intervalle ou une réunion d’intervalles.

Inéquation du type ax+b < cx+d

Pour résoudre ces types d’équations, on renvoi les termes en x d’un côté de l’inégalité (de préférence du celui de gauche) et les termes constants de l’autre côté.

Exemple: Résoudre dans IR

2x+5< x +3

<=>2x-x<3-5

<=> x< - 3 => S=]←,-3[

Remarques :

Ø
Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un nombre réel négatif non nul, l’inégalité change de sens.

Ø
Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un nombre réel positif non nul, l’inégalité ne change pas de sens.

EXERCICES

EXERCICE I: Résoudre dans IR

1. x+15=0

2.2x=6

3.6x-3=2x-2

EXERCICE II:

1.(2x-1)(-3x+7)=0

2.(x-3)(2x-7)-(4x-2)(x-3)+(5x+7)(x-3)=0

3.x(x-2)+x²-4-(x-2)(2x+1)

EXERCICE III: résoudre p(x)=0

1. p(x)=x²+2x -3

2. p(x)=x² +12x + 35

3.p(x)=4x² -12x+8

EXERCICE IV: Résoudre dans. IR les inéquations suivantes:

1. 5x+3<2x-6

2. 2x-1 ≥ x+2

3. x+6 ≥3x

4. -2x+5>x-1

EXERCICE V: Résoudre dans. IR les inéquations suivantes:

1. -3x + 1> x+3

2. 2(3x-1) + 3(x-1)≥0

EXERCICE VI:

Amadou dispose d’une somme de 8 000 FCFA pour l’achat de ses fournitures scolaires pour le compte de l’année scolaire 2020/2021. Pour cela, il achète du matériel de géométrie à 4 000 FCFA et un certain nombre de cahiers de 200 pages qui coute 400 FCFA l’unité. IL aimerait connaitre le nombre de cahiers qu’il peut acheter. Aide Amadou à trouver ce nombre.

EXERCICE VII:

Situation:

Anna a reçu de son oncle de l’argent. Sa mère lui propose de prendre cet argent pour placer dans sa réunion à un taux d’intérêt mensuel de 10% pendant 03 mois, proposition refusée par Anna. Elle préfère utiliser une partie de cet argent et fructifier l’autre partie. Elle entre dans un supermarché avec cet argent pour faire des achats. Elle utilise le quart de cette somme pour acheter des ustensiles de cuisine, le tiers du reste pour acheter les produits de beauté qu’elle pourra revendre. Elle règle également une dette dont le montant correspond à 25% du montant de la somme initiale et elle rentre avec 8000F.

Taches:

1-Quel est le montant de la somme initiale qu’Anna possédait avant d’entrer dans le supermarché?

2-En supposant que le montant de la somme initiale était 32000F. Quel bénéfice obtiendrait Anita si elle vendait les produits de beauté à 12000Fpendant le même temps ?

3-. Anna avait-elle raison de refuser la propositionde sa mère ?

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CORRIGES

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