ANGLES ORIENTES ET TRIGONOMETRIE

ANGLES ORIENTES

Définition

Un angle orienté est défini par deux vecteurs  et , noté  , . L’angle est alors orienté de  vers .

Sur la figure ci-dessous, on a représenté deux angles orientés, représentant le même angle , . Le premier est orienté dans le sens direct et l’autre dans le sens indirect. Le sens direct est le sens contraire aux aiguilles d’une montre.

Propriétés

 1) Les vecteurs   et ,  sont colinéaires si et seulement si :

 ,  ou  ,

2)Relation de Chasles : Soit trois vecteurs  ,  , alors :  ,  + ,  = ,

3) Soit les vecteurs  et , alors on a :

  , = -  , .

 ,  , +π

  ,  ,

 ,  =  ,

Mesure d’un angle orienté

        Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1.

Soit M et N deux points d’un cercle trigonométrique.  M est l’image du réel α, N est l’image du réel b.

 

On appelle mesure d’un angle orienté le nombre réel qui quantifie la rotation nécessaire pour amener le cote initial sur   le cote final.

Exemple : α est la mesure de l’angle orienté , on note ,

                 b est la mesure de l’angle orienté , on note ,

La mesure d’un angle orienté s’exprime en radians(rad) ou en degré (°). Un tour complet correspond à 2π radians.

Mesure principale d’un angle orienté.

Un angle orienté peut avoir une infinité de mesures, qui différent d’un entier multiple de 2π.

Une seule de ces mesures appartient à l’intervalle] -π, π] : c’est la mesure principale de cet angle orienté.

 

Ainsi, si β est une mesure de l’angle orienté  ,  d’angle principal α, alors :

 

β = α+ 2kπ avec k ϵ Z  et α ϵ ]-π,π]

Exemple :

13π/6 = π/6 +2π donc π/6 est la mesure principale de l’angle orienté de mesure 13π/6, 

 

Soit   , un angle orienté et α sa mesure principale α ϵ ]-π,π]. La mesure de l’angle orienté ,  est tout nombre réel non nul de la forme (α+2kπ, kϵZ).

 

             On dit que les mesures (en radian) θ₁ et θ₂ d’un même angle orienté  ,  sont égales modulo 2π, s’il existe un entier relatif k tel que :

 

θ₂ = θ₁ +  2kπ, kϵZ

 On écrira alors : θ₁ = θ₂ [2π] qui se lit « θ₁ égale à θ₂ modulo 2π »

 Exemple : 

 

 

Détermination de la mesure principale d’un angle orienté

On rappelle qu’il existe plusieurs mesures d’un angle orienté dont une seule appartient à l’intervalle] -π, π],

la mesure principale de l’angle orienté  , .

 

Dans l’exemple ci-dessus

 

 

…..

 

Exemple : Déterminons la mesure principale de l’angle β=24π/5

1ere méthode :

 

2eme méthode :α=24π/5-2kπ

α ∈] − π, π] < =>− π<α≤π

                    < =>− π< 24π/5 - 2kπ≤π

                     < =>− π-24π/5< - 2kπ≤π-24π/5

                     < =>− 1-24/5<  -2k≤1-24/5

                    < =>19/10<  k<29/10

                     < =>1,9<k<2,9

k=2  => α=24π/5  -4π=4π/5 ϵ   ] − π, π]

 

TRIGONOMETRIE

 

cosinus, sinus et tangente d’un angle orienté

Considérons les lignes trigonométriques de centre O. 

 

            Dans un repère orthonormal direct (O,I,J), α est l’angle orienté dans le cercle unité, on a alors :

 cos α = projection de l’angle sur l’axe d0,1es abscisses.

 sin α = projection de l’angle sur l’axe des ordonnées.

 tan α = projection de l’angle sur la droite tangente au cercle unité en (1, 0) et orientée vers le haut

Cherchons les coordonnées de M(x,y).

cos α =x/OM  => x=OM cos α

sin α =y/OM  =>  y=OM sin α

Les coordonnées du point M sont (OM cos α, OM sin α).

Ainsi l’axe des x est considéré comme l’axe des cosinus et l’axe des ordonnées comme l’axe des sinus.

         

Propriétés :

·         Si ɑ est un angle, pour tout kϵZ

sin²ɑ +cos²ɑ = 1

-1≤sinα≤1

-1≤cosα≤1

cos(α+2kπ)=cosα

sin(α+2kπ)=sinα

 

·         Si ɑ est un angle, pour tout kϵZ

 

tanα=sinα/cosα avec α≠π/2 +kπ

1/cos²α =1+tan²α

tan(α+kπ)=tanα

 

Ligne trigonométrique des angles remarquables

 

Ligne trigonométrique d’angles associées

Relations avec des angles opposées

Relation avec l’angle supplémentaire et l’opposé du supplémentaire

Exemple : A=cos(x+5π)+cos(π-x)+sin(π/2+x)

=cos(x+π) - cosx +cosx

= -cosx

B= cos(x+7π)+sin(x-π/2)+cos(x-π) +cos(x+π)

=cos(x+π)-sin(π/2-x)+cos(π-x) +cos(x+π)

=-cosx -cosx -cosx -cosx

= -4cosx

 

Relation avec l’angle complémentaire et l’opposé du complémentaire

 

Formules trigonométriques

Formules d’addition

Etant donnes deux réels α et β

 

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

 

 

 

 

Exemple : Sachant que 7π/12=π/3+π/4, calculer cos7π/12  et sin7π/12

cos7π/12  =cos(π/3+π/4)

                 =cos π/3 cos π/4 -sin π/3sin π/4

                 =1/2xѴ2/2 -Ѵ2/2xѴ2/2=Ѵ4/4-Ѵ6/4

 

sin7π/12= sin(π/3+π/4)

              =sin π/3cos π/4+cos π/3sin π/4

              =Ѵ3/2xѴ2/2+1/2xѴ2/2

              =Ѵ6/4+Ѵ2/4

Formules de linéarisation

Pout tout reel α

·         cos2α=cos(α+α)=cos α cos α -sin α sin α=cos² α - sin² α

cos² α –(1- cos² α)=2cos² α – 1 =>

 

 

·        sin2α=sin(α+α)=sinαcosα +cosαsin α =>    

                       sin2α=2sinαcosα

 

·    tan2x=sin2x/cos2x=2sinαcosα/2cos² α – 1

= =>

 

 

Exemple : Exprimer cos4x en fonction de cosx

cos4x=cos2(2x)

         =2.2cos²2x -1

          =2(2cos²x -1)² -1

          =2(4cos⁴x -4cos²x +1) -1

 

Formules et transformation du produit en somme

cosacosb = 1/2[cos(a+b) + cos(a-b)]

 sinasinb   =-1/2[cos(a+b) + cos(a-b)]

sinacosb  = 1/2[sin(a+b)  + sin(a-b)]

cosasinb  = 1/2[sin(a+b)  + sin(a-b)]

 

Formule de transformation de la somme en produit

cosp + cosq= 2cos(p+q)/2cos(p-q)/2

cosp – cosq= -2sin(p+q)/2sin(p-q)/2

sinp  + sinq= 2sin(p+q)/2cos(p-q)/2

sinp  – sinq= 2cos(p+q)/2sin(p-q)/2

Représentation graphique de la fonction sinus et cosinus

 

 

 

 

EXERCICES

 

EXERCICE I : On donne le cercle trigonométrique suivant :

 

1.Determiner sans calculer : cos5π/4 et cos4π/3

2.Determiner sans calculer : sin(π+π/6) et cos(π-π/6) 

3.Determiner sans calculer : sin(π/2+π/6) et sin(π/2-π/6) 

4.Determiner 3 angles consécutifs de valeur principale π/3

EXERCICE II :

1.Placer, sur un cercle trigonométrique de centre O les points A, B, et C , images respectives des nombres π/4,3π/4 et -π/2 .

2.Déterminer les mesures principales des angles ci-dessous :

 

 

3.Comparer les mesures principales de :

 

 

 

EXERCICE III :

1. Convertir en radian : 40 ° et 125 °

2. Convertir en degrés :5π/9 rad et 5π/35 rad.

3. Trouver les mesures principales des angles :21π/4 et -83π/11

 

 

EXERCICE IV :

1 Pour tout réel x, simplifier l’expression

2) Simplifier au maximum, pour tout réel t, l’expression (1- cost)(1 +cost)

3) Démontrez que pour tout nombre réel x,

4. Démontrer que pour tout réel x,

 Puisque vous connaissez cos π/4 et cos π/3, déterminez une valeur exacte de cos π/12 , puis de cos π/24.

 

EXERCICE V :

1.    x réel, écrire les expressions suivantes en ne faisant apparaître que et .

 

 2. a. On donne :

 

 

EXERCICE VI :

Soit f la fonction définie sur ℝ par :

 f( x)= sin(2x).

On note (C) la représentation graphique de f dans un repère orthogonal (O ; I ; J )

1) Calculer f(0) ;f(π/6 ); f( π/12) ;  f(π/2);  f (π/8 );f (π);

2) Montrer que f est impaire. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative (C) ?

3) Soit x un nombre réel.

Comparer f (x+π) et f (x). Que peut-on en déduire pour f ?

4) Démontrez que la fonction f est strictement croissante sur [-π/4, π/ 4]; puis strictement décroissante sur [ π/4, 3π/ 4]

5) Représenter graphiquement la fonction f sur l'intervalle [− 5π/4,7π/4].