CORRIGES

EXERCICE I :

A partir du cercle trigonométrique ci-dessus :

1.cos5π/4= -Ѵ2/2 et cos4π/3=-1/2

2. sin(π+π/6)=-Ѵ3/2  et cos(π-π/6) =-Ѵ3/2

3. sin(π/2+π/6=Ѵ3/2   et sin(π/2-π/6)=  Ѵ3/2  

4.β= π/3+2kπ

k=1 β=π/3+2π=7π/3

k=2 β=π/3+4π=13π/3

k=3 β=π/3+6π=19π/3

EXERCICE II :

1.Placer, sur un cercle trigonométrique de centre O les points A, B et C, images respectives des nombres π/4, 3π/4 et -π/2 .

2.

3.Comparaison

EXERCICE III :

1.

40 ° : 40xπ/180=2π/9 rad

125 ° :125xπ/180=25π/56 rad

2.

5π/9 : 5π/9x180/π=100°

5π/35 : 5π/35x180/π=25,71°

3. mesures principales des angles 21π/4 et

·

·

EXERCICE IV :

1. Pour tout réel x, simplifier l’expression

A(x)=cos(3π-x)+cos(π/2 -x)+sin(-3 π/2-x)

2) Simplifier au maximum, pour tout réel t, l’expression (1- cost)(1 +cost)

3) Démontrez que pour tout nombre réel x,

cos⁴x-sin⁴x=cos²x-sin²x puis que cos⁴x-sin⁴x=2cos²x -1

4. Démontrer que pour tout réel x,

cos(2x)=2cos²(x)-1

 Puisque vous connaissez cos π/4 et cos π/3, déterminez une valeur exacte de cos π/12 , puis de cos π/24.

EXERCICE IV :

1 Pour tout réel x,

A(x)= -cosx – sinx +cosx= -sinx

2)  I’expression (1- cost)(1 +cost)

=1-cosx+cos-cos²x-=(sinx)².

3)  Pour tout nombre réel x,

cos⁴x-sin⁴x=(cos²x-xin²x) (cos²x+xin²x)= cos²x-sin²x

cos⁴x-sin⁴x= cos²x-xin²x= cos²x-(1-cos²x) =2 cos²x-1

4. Pour tout réel x,

cos(2x)=cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx=cos²x-sin²x

=cos²x-(1-cos²x)=2cos²x-1

cos(π/12)=cos(π/3 - π/4)=cosπ/3cosπ/4 + sinπ/3sinπ/4=1/2xѴ2/2 +Ѵ3/2xѴ2/2=(Ѵ2+Ѵ6)/4.

EXERCICE V:

a- A(x)=cos(-x )-sin (x+π) + sin(-x) +cos(π-x)

             =cosx+sinx-sinx-cosx

             =0

b-B(x)=cos(π/2-x)+2cos(-x-π)-3sin(x+π/2)-sin(x+8π)

=sinx+2cos-(x+π)-3cosx-sin(x+π)

= sinx-2cosx-3cosx-sinx

=-5cosx

2.

a-on sait que :

b-

3.

4.

( °

(

b.

EXERCICE VI:

1.On calcule f(0)=sin2(0)=0,f(π/6)=sin(2xπ/6)=Ѵ3/2, f(π/12)=sin(2xπ/12)=1/2

f(π/2)=sin(2xπ/2)=-1, f(π/8)=sin(2xπ/8)=Ѵ2/2, f(π)=sin(2xπ)=0.

2.IR est symétrique par rapport à O, et pour tout xϵIR, f(-x)=sin(2(-x))=sin(-2x)=-sin(2x)=-f(x), ce qui prouve que f est impaire. Sa courbe est donc symétrique par rapport a l’origine O du repère (O,I,J).

3.Pour tout réel x , on calcule f(x+π)=sin(2(x+π))=sin(2x)=f(x).f est une fonction périodique de période π,il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude π, par exemple [-π/4,3π/4]

4.Pour tout reel a et b de l’intervalle [-π/4,3π/4] avec -π/4≤a<b≤π/4, on a -π/2≤2a<2b≤π/2, et puisque la fonction sinus est strictement croissante sur

 [-π/2, π/2], on aboutira à sin(-π/2) ≤sin2a>sin2b≥sin(3π/2), c.-à-d. -1≥f(a)<f(b)≤1. La fonction est strictement croissante sur [-π/4, π/4]

Pour tout reel a et b de l’intervalle [-π/4,3π/4] avec π/4≤a<b≤3π/4, on a π/2≤2a<2b≤3π/2, et puisque la fonction sinus est strictement décroissante sur [π/2,3π/2], on aboutira à sin(π/2) ≥sin2a>sin2b≥sin(3π/2), c.-à-d. 1≥f(a)>f(b)≥-1. La fonction est strictement décroissante sur [π/4,3π/4].

5.Representation graphique de la fonction sur l’intervalle [-5π/4,7π/4]