`CALCUL LITTERAL

MONOMES-POLYNOMES

Définitions

Ø Un monôme de la variable x est une expression littérale de la forme axⁿ, où a ϵ IR et n ϵ IN.

· a représente le coefficient numérique;

· n représente le degré du monôme,

· x représente la variable,

Exemples:

· 3x² est un monôme de coefficient 3, de variable x et de degré 2.

· 5x³est un monôme de coefficient 5, de variable x et de degré 4.

· -9y⁵ est un monôme de coefficient -9, de variable y et de degré 5.

Remarques:

· 3 est un monôme de coefficient 3, de variable x et de degré 0.

· 0 est un monôme de coefficient 0, de variable x et de degré 0.

Ø Un polynôme est une somme algébrique de plusieurs monômes de même variable. La variable peut être n’importe quelle lettre de l’alphabet.

Le degré d’un polynôme est celui de son monôme de plus haut degré.

Exemple: 2x²+5x⁵-7x³ est un polynôme de variable x et de degré 5.

Propriétés

1-n, p ϵ IN axⁿ=bxⁿ , alors a=b et n=p

2-(axⁿ)(bx^p)=abx^n+p

Exemple : (3x²)(5x³)=15x⁵; (2x⁵)²=4x¹⁰

OPERATIONS SUR LES EXPRESSIONS LITTERALES

Addition

La somme de deux polynômes est un polynôme, pour l’obtenir, on regroupe les monômes de même degré et on additionne leurs coefficients.

Exemple:

P(x)=7x²+4x⁵+x+1

Q(x)=8x⁵-3x²+5

(P+Q)(x)= (7x²+4x⁵+x+1)+(8x⁵-3x²+5)=( 7x²-3x²) +(4x⁵+8x⁵)+(x)+(1+5) // on regroupe les monômes de même degré.

=12x⁵+4x²+x+6 // on additionne leurs coefficients

Remarque:

P-Q est aussi un polynôme

Réduire une expression littérale, c’est l’écrire avec moins de termes. Pour cela, on regroupe les termes semblables afin d’effectuer les opérations appropriées visant à réduire les différentes expressions.

Ordonner un polynôme revient à le ranger du monôme le plus haut degré à celui du plus petit degré (suivant les puissances décroissantes) ou alors du monôme au plus petit degré à celui au plus haut degré (suivant les puissances croissantes).

Exemple:

P(x)=3x²+8x⁶-3x⁵+4x⁸+5

Q(x)=3x⁴+12x²-13x⁵+14x⁶-8

P(x)+ Q(x)=(3x²+8x⁶-3x⁵+4x⁸+5) +( 3x⁴+12x²-13x⁵+14x⁶-8)

=(3x²+12x²) +( 8x⁶+14x⁶) +(-3x⁵-13x⁵) +(4x⁸) +5-8

=15x²+22x⁶-16x⁵+4x⁸-3

Suivant les puissances décroissantes, on a:

4x⁸+22x⁶-16x⁵+15x²-3 //les degrés diminuent de 8 à 0 (-3=-3x⁰)

Suivant les puissances croissantes, on a:

-3+15x²-16x⁵+22x⁶+4x⁸//les degrés augmentent de 0 à 8 (-3=-3x⁰)

Multiplication

Le produit de deux polynômes est un polynôme.

Développer un polynôme ou une expression, c’est l’écrire sous la forme d’une somme algébrique d’autres expressions plus simples (monômes).

Exemple:

P(x)=2x² +x

Q(x)=x+1

P(x)xQ(x)=(2x² +x)( x+1)=2x².x+2x².1+x.x+x.1 // on développe le produit ( 2x² +x)( x+1)=

=2x³+2x²+x²+x

=2x³+3x²+x //on obtient une somme des monômes simples

Pour développer une expression littérale, on peut utiliser :

Ø La propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction

Remarque1:

Quand on a un (+) devant la parenthèse, on supprime les parenthèses sans rien faire d’autre. Quand on a un (-) devant la parenthèse, on supprime les parenthèses mais en changeant tous les signes des monômes qui se trouvent à l’intérieur des parenthèses en leur opposé.

Remarque 2:

Dans un développement d’une expression littérale, l’ordre de priorité est le suivant :

· L’élévation à une puissance ;

· Les opérations entre parenthèses ;

· La multiplication ou la division ;

· L’addition ou la soustraction.

Factorisation

Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs. C’est l’opération inverse du développement.

Méthodes de factorisation

Ø Utilisation des facteurs communs

Il s’agit d’utiliser un terme commun aux éléments d’une somme

Exemple:

P(x)=(x+1)(x-2) -2x-2

=(x+1)(x-2) -2(x+1) // on remarque que (x+1) est présent dans les deux termes de l’expression

=(x+1)[(x-2)-2] //on met le terme commun en facteur

=(x+1)(x-4)

Ø Utilisation des identités remarquables.

Il s’agit de de retrouver les identités suivantes dans l’expression des polynômes

Exemples: Factoriser les expressions suivantes :

· P(x)=16x²-8x+1

En posant

a=4x

b=1

On a l’identité remarquable a^2-2ab +b²=(a-b)²

P(x)=16x²-8x+1=(4x)²-2(4x).1+(1)²=(4x-1)²

· Q(x)=x² +4x +4

En posant

a=x

b=2

On a l’identité remarquable a²+2ab +b²=(a+b)²

Q(x)=x² +4x +4=(x)²+2(x).2 +(2)²=(x-2)²

· T(x)=x²-9

En posant

a=x

b=3

On a l’identité remarquable a²-b²=(a+b)(a-b)

T(x)=(x+3)(x-3)

Ø Utilisation du début de carré

Dans l’ecriture du polynôme a factoriser, on identifie le début du développement d’un carré c.-à-d. d’une identité remarquable.

a²+2ab est le début de développement de (a+b)²puisque (a+b)²=a²+2ab+b² => a²+2ab=(a+b)²-b²

Exemples:

· P(x)=4x²+4x-12

P(x)=4x²+4x-12=(2x)² +2(2x).1

On pose: a=2x et b=1

4x²+4x est le début de développement de (2x+1)²//car(2x+1)²=4x² +4x +1 =>4x² +4x=(2x+1)²-1

4x²+4x =(2x+1)²-1

P(x)=4x²+4x-12=(2x+1)²-1 -12=(2x+1)² -13

a²-b²=(a-b)(a+b) //car (a-b)(a+b)=a²+ab-ba -b²

P(x)=(2x+1)² -13=[(2x+1) -Ѵ13] [(2x+1)+ Ѵ13]

· Q(x)=x²+3x-4

x²+3x-4=(x+3/2)²-(3/2)²-4=(x+3/2)²-(5/2)²=[x+3/2-5/2][ x+3/2+5/2]=(x-1)(x+4)

Remarque:

P(x)=ax²+bx+c=a[(x+b/2a)²-(b/2a)² +c/a]

EXPRESSION RATIONNELLE

Une expression rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.

Exemple:

Condition d’existence d’une expression rationnelle

Comme toute fraction, l’écriture d’une expression rationnelle n’est possible que lorsque son dénominateur est différent de zéro : c’est la condition d’existence d’une valeur numérique de la fraction rationnelle.

Pour déterminer la condition d’existence d’une valeur numérique d’une fraction rationnelle, on peut d’abord et si possible factoriser le dénominateur et ensuite utiliser la propriété signifie que

Exemple:

f(x) existe si et seulement si x²-2x+1 ≠0

x²-2x+1 ≠0 <= >(x-1)²≠0 donc x≠1

Simplification d’une expression rationnelle

Simplifier une expression rationnelle c’est la rendre sous la forme la plus simple possible. Pour cela, On factorise le numérateur et le dénominateur si cela est nécessaire ;

Méthode:

i. On détermine la condition d’existence ;

ii. On élimine les facteurs communs qui apparaissent au numérateur et au dénominateur ;

iii. Ecrire l’expression simplifiée précédée de la condition d’existence.

Exemple: