PENDULE CONIQUE
Un système formé d’un
solide (S) de petites dimensions (de masse m et de centre d’inertie G) suspendu
à un fil de longueur l et décrivant une trajectoire circulaire horizontale
constitue un pendule conique. Le système est nommé ainsi car dans son
déplacement, la corde décrit la forme d’un cône. Dans le référentiel de
laboratoire, considéré comme galiléen, le solide (S) est soumis à deux
forces : son poids 
et la tension
du fil.
D’après le TCI :
Lorsque le pendule est incliné d’un angle θ par rapport à l’horizontal, la projection de cette relation donne (dans un repère (G, I, J) choisi tel que (G, I) soit dans la direction du rayon r de la trajectoire, orienté vers le centre, et (G, J) soit vertical.
Par projection sur les deux axes, on a :
Tsinθ=man=mv2/r
(1)
Tcosθ=mg (2)
La force centripète correspond à la composante horizontale Tsinθ de la tension.
La valeur de
l’accélération centripète du centre d’inertie de G est an=r
=lsinθ car
r=lsinθ.
En divisant (1) par (2), on obtient :
Soit à condition que
sinθ
,
.
Cette solution n’est possible que si :
car 
La valeur minimale de la vitesse angulaire est donc
Elle dépend de la longueur du pendule.
Cette condition étant remplie, en remplaçant cosθ par sa valeur, on trouve :
EXERCICES
EXERCICE I :
On fait tourner une pierre de 2 kg attachée à une corde avec une vitesse de 3,6 km/h. La longueur de la corde est de 1 m.
a) Quelle est l’accélération de la pierre ?
b) Quelle est la tension de la corde ?
EXERCICE II :
Un point matériel M de masse m est suspendu à un fil de longueur L inextensible et de masse négligeable attaché en un point fixe O' de l'axe Oz. M décrit un cercle de rayon R de centre O à la vitesse angulaire ω constante dans le plan Oxy
a) Calculer la tension du fil.
b) Calculer l'inclinaison α du fil par rapport à la verticale.
c) A quelle condition sur ω ce mouvement peut-il avoir lieu ?
EXERCICE III :
Un pendule conique est constitué d’une boule métallique quasi ponctuelle de masse m=60g suspendue à un fil inextensible de longueur l=80 cm et de masse négligeable, tournant à la vitesse angulaire ω autour d’un axe vertical.
Pour une valeur suffisante de ω le fil s’incline d’un angle ϴ et la boule décrit dans un plan horizontal un mouvement circulaire uniforme de centre O.
1. Appliquer le théorème du centre d’inertie dans un référentiel approprié et établir la relation entre la vitesse angulaire ω et l’angle ϴ.
2. Quelle est la valeur minimale ω0 de ω en dessous de laquelle ϴ=0 ?
3. Calculer la tension du fil pour ϴ=30°, puis pour ω=10rad.s-1, puis pour ω=4rad.s-1.
EXERCICE IV :
On dispose d’un ressort à spires non jointives de longueur au repos l0 et de raideur K. On néglige la masse du ressort dans tout l’exercice. On enfile ce ressort sur une tige OT, soudée à un axe verticale ∆ faisant avec la verticale descendante un angle Ѳ (Ѳ <90°). Une des extrémités du ressort est fixée en O, tandis qu’à l’autre on accroche un corps de masse m, coulissant sans frottements sur OT (fig 3). Le système est au repos.
1. Faire l’inventaire des forces appliquées au corps C.
2. Calculer la longueur du ressort l1 à l’équilibre.
Calculer l’intensité de la force R exercée par la tige OT sur le corps C.
On donne : l0 = 0,2m ; k=25 N/m ; Ѳ=30° ; m=200 g ; g=9,8 N/kg.
3. La tige étant supprimée, l’ensemble tourne autour de
l’axe (∆) à la vitesse angulaire constante ω ; le ressort n’oscille
pas et a une longueur l2.
3.1 Préciser la trajectoire décrite par le corps C.
3.2 Exprimer la longueur l2 en fonction de ω, m, Ѳ, K, et l0.
3.3 Calculer l2 sachant que ω=7rad/s.
EXERCICE V :
Un axe vertical (Δ) sur lequel est fixé une tige (t) tourne à la vitesse constante ω. On enfile sur la tige un ressort(R) de masse négligeable et de raideur k, fixé en O et portant à son extrémité libre un anneau (Δ), de masse m. Le ressort et l'anneau coulissent sans frottements sur la tige (t).
1. Détermine l’allongement du ressort en fonction de ω, m, k, et l longueur du ressort à vide.
2. AN : m=50g, ω=2пrad.s-1, k=0,1N.cm-1,l=15cm.
3. La limite d’élasticité du ressort est atteinte lorsque l’allongement du ressort est égal à 25 cm. Calculer (en tr/s) la fréquence maximale permise.
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