SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES

SUITES ARITHMETIQUES

La suite (u_n) est une suite arithmétique s’il existe un nombre réel r tel que pour tout naturel n,

u_n+1 = u_n + r

Le réel r est appelé la raison de la suite.

Propriétés :

 Pour tout entier naturel n,

u_n = u₀ + nr .

 Pour tous entiers naturels n et p ,

u_n = u_p + ( n – p ) r

Somme de n termes consécutifs d’une suite arithmétique

Exemple :

On pose :  Sn=1+2+3+…+n

Calculons la somme Sn

· Si on a n+1 termes:

Si le premier terme est u₀ et la raison est r

D’une façon générale, la somme Sn des premiers termes d’une suite arithmétique vérifie :

Sn= u_p + u_p+1 + · · · + u_n

SUITES GEOMETRIQUES

 La suite (u_n) est une suite géométrique s’il existe un nombre réel q tel que pour tout naturel n ,

u_n+1 = qu_n .

Le réel q est appelé la raison de la suite.

Propriétés :

 Soit une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q. alors pour tout entier naturel n , on a:

u_n = u₀ × q ⁿ .

Pour tous entiers naturels n et p ,

u_n = u_p× q ^{(n – p)} .

Somme de n termes consécutifs d’une suite géométrique

Soit un une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q

S_n=u₀ + u₁ + · · · + u_n

Soit un une suite géométrique de premier terme u_p et de raison q

S_n= u_p+u_p+1+…..+u_n

p étant le nombre de terme de la somme (n-p+1)

➪ D’une façon générale, la somme Sn des premiers termes d’une suite géométrique vérifie :

Limites

Soit q un reel positif

·

·

·

EXERCICES

EXERCICE I:

U_n est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u₀. Sachant que u₃=5 et S₄=15,

1.Calculer r et u₀

2.Deduire le terme général de u_n

3.Calculer

EXERCICE II:

On considère les suites u_n et v_n définies par:

1.Demontrer que v_n est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.

2.Exprimez v_n en fonction de n

3.Calculer la limite de s_n quand n→∞

EXERCICE III:

On considère les suites u_n et v_n définies par:

1.Calculer u₁, u₂ et u₃

2.Demontrer que v_n est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison

3.Donner l’expression du terme général de v_n

4. On pose:s_n=v₀+v₁+v₂+v₃+…….+v_n

Donner l’expression de S_n en fonction de n

5.Calculer la limite de s_n quand n→∞

EXERCICE IV:

 Dans un pays, au début de l’année 2008, une ville A compte 200 000 habitants, et sa population décroît de 3% par an, tandis qu’une autre ville B compte 150 000 habitants, avec une croissance annuelle de 5%. On appelle an le nombre d’habitants de A _n années après 2008 (d’où u₀=200 000), et de même b_n pour la ville B.

 1) Calculer a₁ et b₁

 2) Montrer que a_n et bn sont des suites géométriques dont on précisera les caractéristiques. Puis donner leur forme explicite.

3) Au bout de combien d’années la population de la ville B dépassera-t-elle celle de la ville A ? La population de B augmente, celle de A diminue. Quand aura-t-on a_n=b_n ?

4.Une population d’insectes augmente de 30% par an. Aujourd’hui, elle compte un million d’individus. On veut savoir au bout de combien d’années elle atteindra 100 millions.

EXERCICE V:

Soit 𝑎 ∈ ] 1/ 2 ; 1[ et les suites (𝑢_𝑛 ) 𝑒𝑡 (𝑣_𝑛 ) telles que 𝑢₀ = 2 ; 𝑣₀ = 3 ,𝑢_𝑛+1 = 𝑎𝑢_𝑛 + (1 − 𝑎)𝑣_𝑛 𝑒𝑡 𝑣_𝑛+1 = (1 − 𝑎)𝑢_𝑛 + 𝑎𝑣_𝑛.

1) Démontre par récurrence que pour tout entier 𝑛 ∈ ℕ, 𝑣_𝑛 − 𝑢_𝑛 > 0.

2)        a- Démontre que la suite (𝑢_𝑛 ) est croissante.

b- Démontre que la suite (𝑣_𝑛 ) est décroissante.

c- Démontre que les suites (𝑢_𝑛 ) 𝑒𝑡 (𝑣_𝑛) sont convergentes.

3) Soit la suite (𝑤_𝑛 ) définie par 𝑤_𝑛 = 𝑣_𝑛 − 𝑢_𝑛 .

a- Démontre que la suite (𝑤_𝑛) est une suite géométrique à déterminer.

 b- En déduire que les suites (𝑢_𝑛 ) 𝑒𝑡 (𝑣_𝑛) ont la même limite.

4) Soit la suite (𝑡_𝑛 ) définie par 𝑡_𝑛 = 𝑢_𝑛 + 𝑣_𝑛 .

            a- Démontre que la suite (𝑡_𝑛 ) est une suite constante.

 b- En déduire la limite commune des suites (𝑢_𝑛 ) 𝑒𝑡 (𝑣_𝑛).

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CORRIGES

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