CORRIGES

EXERCICE I

1.

U₃=u₀+3r

S₄=(n+1)(u₀+u₄)/2=5(2u₀ +4r)/2

2.

EXERCICE II

1.v_n+1=u_n+1 -1=1/5u_n +4/5 -1=1/5v_n=>suite géométrique de raison q=1/5

v₀=u₀-1=6-1=5

2.v_n=v₀qⁿ=5(1/5)ⁿ

3.v_n=u_n-1=>u_n=5(1/5)ⁿ+1

EXERCICE III

1. u₁=u₀₊₁ =2u₀-3=2x1-3=-1

u₂=-5

u₃=-13

2.v_n+1=u_n+1 -3=2u_n -3 -3=2u_n-6=2(u_n-3)=2v_n

v₀=u₀-3=1-3=-2

q=2

3.v_n=v₀qⁿ=(-2)(2)ⁿ=-2ⁿ⁺¹

4.S_n=v₀

EXERCICE IV :

a₁=200 000 – (3/100) 200 000= 194 000

b₁=150 000 + (5/100) 150 000= 157 500.

a_n+1= a_n – (3/100) a_n = (97/100) a_n = 0,97 an, et de même b_n+1 = 1,05 b_n .

On en déduit que a_n = a₀ (0,97)ⁿ et b_n = b₀ (1,05)ⁿ .

Cela aura lieu lorsque 0,97ⁿ 200 000 = 1,05ⁿ 150 000, soit (1,05/0,97)ⁿ = 20 / 15, ou (105 / 97)ⁿ = 4/3.

Passons en logarithmes : n (ln 105 – ln 97) = ln 4 – ln 3, d’où ln 4 ln 3 ln105 ln 97 => n = 3,63. La population de B dépassera celle de A au cours de la troisième année, c’est-à-dire pendant l’année 2008+3 = 2011.

4. Appelons u₀ la population actuelle, et un sa valeur au bout de n années. En un an, elle augmente de 30% = 30/100= 0,3. Cela signifie que u_n+1= u_n + 0,3 u_n = 1,3 u_n. On obtient une suite géométrique de terme initial u₀ et de raison 1,3. D’où la forme explicite u_n=1,3ⁿ 10⁶ . On veut trouver n tel que u_n=100. 10⁶ , c’est-à-dire 1,3ⁿ =100, ou encore n ln1,3 = ln 100, n = ln100 / ln1,3, n = 17,6 années.

EXERCICE V :