SUITES NUMERIQUES
GENERALITES SUR LES SUITES
Définition :
Une suite numérique (un) est une application de IN dans IR.
(un): IN→IR
n→un
On note (un) la suite de nombres u0, u1, u2,..., un, ...
Le nombre un est le terme d’indice n (ou de rang n).
uo est le premier terme de la suite.
Suites définies par une formule explicite
Ce sont des suites dont l’expression directe est en fonction de l’entier n
Exemple: Un=2n +1
Calculons les 5 premiers termes
U0=2x0 +1=1
U1=2x1 +1=3
U2=2x2 +1=5
U3=2x3 +1=7
U0=2x4 +1=1
Suites définies par une formule implicite ou par récurrence
Ce sont des suites définies par la valeur du premier terme et une relation un+1=f(un) pour tout n. Elles sont définies par une formule de récurrence (formule de récurrence : un terme de la suite s’écrit en fonction du ou des précédents).
Exemple: un+1 = 3un + 2 et uo=1
Calculons les deux premiers termes:
u1 = 3u0 + 2= 3x1 + 2=5
u2 = 3u1 + 2= 3x5 + 2=17
OPERATIONS SUR LES SUITES NUMERIQUES
Soient ( Un )nϵ I et ( Vn )n ϵ I deux suites numériques toutes définies sur une partie I de IN ;
Soit a un nombre réel. Alors :
i) La suite somme (U+V )nϵ I est définie comme suit :
" Înϵ I on a (U +V)n=Un+Vn ;
ii) La suite produit (UxV)n est définie comme suit :
" Înϵ I on a (UxV)n=UnxVn ;
iii) La suite produit par un réel ( αU)nϵ I est définie comme suit :
" În I on a (aU)n=α Un .
Variations d’une suite
Définition :
Soit (un) une suite de nombre réels. E est son ensemble de définition et I, un intervalle de E.
La suite (un) est croissante si, pour tout entier naturel n, un+1 ≥un .
La suite (un) est strictement croissante si, pour tout entier naturel n, un+1 > un .
La suite (un) est décroissante si, pour tout entier naturel n, un+1 ≤ un .
La suite (un) est strictement décroissante si, pour tout entier naturel n, un+1 < un .
Méthode:
a) La méthode algébrique
Ø On étudie le signe de un+1-un
· Si pour tout n de E, un+1-un≥0, alors la suite un est croissante.
· Si pour tout n de E, un+1-un≤0, alors la suite un est décroissante.
Exemple:
Ø
Un
compare le quotient 
à 1 , si pour
tout entier naturel n de E, un≥1
· Si pour tout n de E,
alors la suite un
est croissante.
· Si pour tout n de E, 
alors la suite un
est décroissante.
Exemple:
b) Méthode à l‘aide d’une fonction
Si un =f(n), alors un a le même sens de variation que la fonction f.
On étudie donc les variations de la fonction sur I contenant E.
· Si f est croissante sur I, alors la suite un est croissante.
· Si f est décroissante sur I, alors la suite un est décroissante.
Exemple:
Convergence d’une suite
Définition :
Une suite (un) est une suite
convergente vers le nombre réel l si tout intervalle ouvert contenant l
contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Le nombre réel
l est la limite de la suite (un), on écrit:
Une suite est divergente si elle n’est pas convergente (sa limite est infinie ou n’existe pas).
.
REPRESENTATION GRAPHIQUE DES TERMES D’UNE SUITE
Si la suite (un) a son terme général défini en fonction de n, on représente la suite dans un repère du plan, par un ensemble de points de coordonnées (n; un). Cette représentation graphique permet de visualiser les variations de la suite et éventuellement la convergence.
Méthode:
· Commencer par représenter la fonction et la première bissectrice y=x.
· Placer le point d’abscisse u0 sur l’axe des abscisses
· A partir du point d’abscisse u0 sur l’axe des abscisses, on obtient sur l’axe le point d’abscisse u1 en traçant une parallèle à l’axe des ordonnées qui coupe la courbe au point A0(u0, u1), on trace ensuite une parallèle à l’axe des abscisses qui passe par A0; cette parallèle coupe la première bissectrice en un autre point. En traçant une autre parallèle à l’axe des ordonnées passant par ce point, cette nouvelle parallèle coupe l’axe des abscisses au point u1.
· On répète le processus.
SUITES ARITHMETIQUES
La suite (un) est une suite arithmétique s’il existe un nombre réel r tel que pour tout naturel n,
un+1 = un + r.
Le réel r est appelé la raison de la suite.
Propriétés :
Pour tout entier naturel n,
un = u0 + nr .
Pour tous entiers naturels n et p,
un = up + ( n – p ) r
Somme de n termes consécutifs d’une suite arithmétique
Soit un une suite arithmétique, la somme des termes de cette suite Sn=u1+u2+….+un est:
On pose : Sn=1+2+3+…+n
Calculons
la somme Sn
· Si on a n+1 termes:
Sn=u0+u1+u2+u3+…+un
D’une façon générale, la somme Sn des premiers termes d’une suite arithmétique vérifie :
Sn=up + up+1 + · · · + un
SUITES GEOMETRIQUES
La suite (un) est une suite géométrique s’il existe un nombre réel q tel que pour tout naturel n ,
un+1 = qun .
Le réel q est appelé la raison de la suite.
Propriétés :
Soit une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q. alors pour tout entier naturel n , on a:
un = u0 × q n .
Pour tous entiers naturels n et p ,
un = up× q (n – p) .
Somme de n termes consécutifs d’une suite géométrique
Soit un une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q
Sn=u0 + u1 + · · · + un
Soit un une suite géométrique de premier terme up et de raison q
Sn= up+up+1+…..+un
p étant le nombre de terme de la somme (n-p+1)
➪ D’une façon générale, la somme Sn des premiers termes d’une suite géométrique vérifie :
Limites
Soit q un reel positif
·
· 
· 
EXERCICES
EXERCICE I:
1.un est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r.
Calculer
u0 et r sachant que
2. un est une suite arithmétique de premier terme u0=2 et de raison r=3
On pose:
a. Exprimez S en fonction de n
b. Déterminer n sachant que S=187
EXERCICE II:
Soit
vn la suite définie par
1.Determiner: v0 et v1
2.Exprimez vn+1 en fonction de vn.
3.En déduire la nature de la suite vn. On précisera sa raison.
4.Calculer la limite de la suite vn.
5.quel est le signe de vn+1-vn? en déduire le sens de variation de la suite vn.
6.On pose S=v0+v1+v2+….+vn
Exprimez S en fonction de n.
EXERCICE III:
On considère la suite (Un) définie par:
u0=30000
Un=u0+ 600000n
a)Donner la nature de cette suite ainsi que ses éléments caractéristiques
b)Calculer Sn= u0 + u1 +u2 +…….unen fonction de n.
EXERCICE IV:
Soit une suite (un) définie par :
u0 = 2
un+1 = 2un + 5
On pose la suite (vn) telle que vn = un + 5
1) Montrer que la suite (vn) est géométrique
2) Exprimer vn puis un en fonction de n.
EXERCICE V:
On considère les suites un et vn définies par:
et
vn=un-3
1.Calculer u1,u2 et u3
2.Demontrer que vn est une suite géométrique dont on définira le premier terme et la raison.
3.Donner l’expression générale de vn en fonction de n.
4.On pose Sn=v0 +v1+……vn
Donner l’expression de Sn en fonction de n
5.Calculer la limite de Sn quand n tend vers l’infini.
EXERCICE VI:
En Janvier 2005, une entreprise offrait sur le marché 10000 articles d’un nouveau produit avec une perspective d’augmentation de 5% par an. On note P0=10000 la production en l’an 2005 etPn la quantité offerte en l’an 2005 + n, n étant un entier naturel.
1-Calculer P1, P2et P3
2-Exprimer Pn+1en fonction dePn, pour tout entier naturel non nul.
En déduire la nature de la suite (Pn), puis exprimer (Pn) en fonction de n.
3-Calculer la production prévisible de Janvier 2005 à Janvier 2009.
Avez-vous un exercice à proposer au Forum?Cliquez-ici
CORRIGES
Merci de votre visite
Laissez un commentaire