SUITES NUMERIQUES

Définition :

Une suite numérique (u_n) est une application de IN dans IR.

(u_n) : IN→IR

n→u_n

On note (u_n) la suite de nombres u₀, u₁, u₂,..., u_n, ...

Le nombre u_n est le terme d’indice n (ou de rang n).

u_o est le premier terme de la suite.

Suites définies par une formule explicite

Ce sont des suites dont l’expression directe est en fonction de l’entier n

Exemple : U_n=2n +1

Calculons les 5 premiers termes

U₀=2x0 +1=1

U₁=2x1 +1=3

U₂=2x2 +1=5

U₃=2x3 +1=7

U₀=2x4 +1=1

Suites définies par une formule implicite ou par récurrence

Ce sont des suites définies par la valeur du premier terme et une relation u_n+1=f(u_n) pour tout n. Elles sont définies par une formule de récurrence (formule de récurrence : un terme de la suite s’écrit en fonction du ou des précédents).

Exemple : u_n+1= 3u_n + 2 et u_o=1

Calculons les deux premiers termes :

u₁= 3u₀ + 2= 3x1 + 2=5

u₂= 3u₁ + 2= 3x5 + 2=17

OPERATIONS SUR LES SUITES NUMERIQUES

Soient ( U_n )_{nϵ
I et} ( V_n )_{n ϵ I} deux suites numériques toutes définies sur une partie I de IN ;

Soit a un nombre réel. Alors :

i) La suite somme (U+V )nϵ I est définie comme suit :

" Înϵ I on a (U +V)_n=U_n+V_n ;

ii) La suite produit (UxV)_n est définie comme suit :

" Înϵ I on a (UxV)_n=U_nxV_n ;

iii) La suite produit par un réel ( αU)_{nϵ I} est définie comme suit :

" În I on a (aU)_n=α U_n .

Variations d’une suite

Définition :

Soit (u_n) une suite de nombre réels. E est son ensemble de définition et I, un intervalle de E.

La suite (u_n) est croissante si, pour tout entier naturel n, u_{n+1 ≥}u_n .

La suite (un) est strictement croissante si, pour tout entier naturel n, u_n+1> u_n .

La suite (un) est décroissante si, pour tout entier naturel n, un+1 ≤ u_n .

La suite (un) est strictement décroissante si, pour tout entier naturel n, u_n+1< u_n .

Méthode :

a) La méthode algébrique

Ø On étudie le signe de u_n₊₁-u_n

· Si pour tout n de E, u_n+1-u_n≥0, alors la suite u_n est croissante.

· Si pour tout n de E, u_n+1-u_n≤0, alors la suite un est décroissante.

Exemple :

Ø Un compare le quotient à 1 , si pour tout entier naturel n de E, u_n≥1

· Si pour tout n de E, alors la suite u_n est croissante.

· Si pour tout n de E, alors la suite u_n est décroissante.

Exemple :

b) Méthode à l‘aide d’une fonction

Si u_n =f(n), alors un a le même sens de variation que la fonction f.

On étudie donc les variations de la fonction sur I contenant E.

· Si f est croissante sur I, alors la suite u_n est croissante.

· Si f est décroissante sur I, alors la suite u_n est décroissante.

Exemple :

Convergence d’une suite

Définition :

Une suite (u_n) est une suite convergente vers le nombre réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Le nombre réel l est la limite de la suite (u_n), on écrit :

Une suite est divergente si elle n’est pas convergente (sa limite est infinie ou n’existe pas).

REPRESENTATION GRAPHIQUE DES TERMES D’UNE SUITE

Si la suite (u_n) a son terme général défini en fonction de n, on représente la suite dans un repère du plan, par un ensemble de points de coordonnées (n; u_n). Cette représentation graphique permet de visualiser les variations de la suite et éventuellement la convergence.

Méthode :

· Commencer par représenter la fonction et la première bissectrice y=x.

· Placer le point d’abscisse u₀ sur l’axe des abscisses

· A partir du point d’abscisse u₀ sur l’axe des abscisses, on obtient sur l’axe le point d’abscisse u₁ en traçant une parallèle à l’axe des ordonnées qui coupe la courbe au point A₀(u₀, u₁), on trace ensuite une parallèle à l’axe des abscisses qui passe par A₀ ; cette parallèle coupe la première bissectrice en un autre point. En traçant une autre parallèle à l’axe des ordonnées passant par ce point, cette nouvelle parallèle coupe l’axe des abscisses au point u₁.

· On répète le processus.

SUITES ARITHMETIQUES

La suite (u_n) est une suite arithmétique s’il existe un nombre réel r tel que pour tout naturel n,

u_n₊₁= u_n+ r.

Le réel r est appelé la raison de la suite.

Propriétés :

Pour tout entier naturel n,

u_n = u₀ + nr .

Pour tous entiers naturels n et p,

u_n = u_p + ( n – p ) r

Somme de n termes consécutifs d’une suite arithmétique

Soit u_n une suite arithmétique, la somme des termes de cette suite Sn=u₁+u₂+….+u_n est :

Exemple :

On pose : Sn=1+2+3+…+n

Calculons la somme Sn

· Si on a n+1 termes :

S_n=u₀+u₁+u₂+u₃+…+u_n

D’une façon générale, la somme S_n des premiers termes d’une suite arithmétique vérifie :

S_n=u_p+ u_p+1+ · · · + u_n

SUITES GEOMETRIQUES

La suite (u_n) est une suite géométrique s’il existe un nombre réel q tel que pour tout naturel n ,

u_n₊₁ = qu_n .

Le réel q est appelé la raison de la suite.

Propriétés :

Soit une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q. alors pour tout entier naturel n , on a :

u_n = u₀ × q ⁿ .

Pour tous entiers naturels n et p ,

u_n = u_p× q ^{(n – p)} .

Somme de n termes consécutifs d’une suite géométrique

Soit un une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q

S_n=u₀+ u₁ + · · · + u_n

Soit un une suite géométrique de premier terme u_p et de raison q

Sn= u_p+u_p+1+…..+u_n

p étant le nombre de terme de la somme (n-p+1)

➪ D’une façon générale, la somme Sn des premiers termes d’une suite géométrique vérifie :

Limites

Soit q un reel positif

EXERCICES

EXERCICE I:

1.u_n est une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r.

Calculer u₀et r sachant que

2. u_n est une suite arithmétique de premier terme u₀=2 et de raison r=3

On pose :

a. Exprimez S en fonction de n

b. Déterminer n sachant que S=187

EXERCICE II:

Soit v_n la suite définie par

1.Determiner : v₀ et v₁

2.Exprimez v_{n+1 en} fonction de v_n.

3.En déduire la nature de la suite v_n. On précisera sa raison.

4.Calculer la limite de la suite v_n.

5.quel est le signe de v_n+1-v_n ? en déduire le sens de variation de la suite v_n.

6.On pose S=v₀+v₁+v₂+….+v_n

Exprimez S en fonction de n.

EXERCICE III:

On considère la suite (Un) définie par :

u₀=30000

_Un=u₀ + 600000n

a) Donner la nature de cette suite ainsi que ses éléments caractéristiques

b) Calculer S_n = u₀ + u₁ +u₂+…….u_n en fonction de n.

EXERCICE IV :

Soit une suite (un) définie par :

u₀ = 2

u_n₊₁ = 2u_n + 5

On pose la suite (v_n) telle que v_n = u_n + 5

1) Montrer que la suite (v_n) est géométrique

2) Exprimer v_n puis un en fonction de n.

EXERCICE V :

On considère les suites u_n et v_n définies par :

v_n=u_n-3

1.Calculer u₁,u₂ et u₃

2.Demontrer que v_n est une suite géométrique dont on définira le premier terme et la raison.

3.Donner l’expression générale de v_n en fonction de n.

4.On pose S_n=v₀ +v₁+……v_n

Donner l’expression de S_n en fonction de n

5.Calculer la limite de S_n quand n tend vers l’infini.

EXERCICE VI :

En Janvier 2005, une entreprise offrait sur le marché 10000 articles d’un nouveau produit avec une perspective d’augmentation de 5% par an. On note P₀=10000 la production en l’an 2005 et P_n la quantité offerte en l’an 2005 + n, n étant un entier naturel.

1-Calculer P₁, P₂ et P₃

2-Exprimer P_n+1 en fonction de P_n, pour tout entier naturel non nul.

En déduire la nature de la suite (P_n), puis exprimer (P_n) en fonction de n.

3-Calculer la production prévisible de Janvier 2005 à Janvier 2009.

CORRIGES :

EXERCICE I:

1.u_n=u₀ +nr

u₄=u₀ +4r

u₆=u₀ +6r=> u₄+ u₆= u₀ +4r+ u₀ +6r=2u₀+10r => u₀ +4r=3

u₈=u₀ +8r

u₁₀=u₀ +10r

u₁₂=u₀ +12r