SUITES NUMERIQUES

GENERALITES SUR LES SUITES

Définition :

Une suite numérique (u_n) est une application de IN dans IR.

(u_n): IN→IR

n→u_n

On note (u_n) la suite de nombres u₀, u₁, u₂,..., u_n, ...

Le nombre u_n est le terme d’indice n (ou de rang n).

u_o est le premier terme de la suite.

On distingue deux types de définition des suites numériques:

Suites définies par une formule explicite

Ce sont des suites dont l’expression directe est en fonction de l’entier n.

Exemple: U_n=2n +1

Calculons les 5 premiers termes

U₀=2x0 +1=1

U₁=2x1 +1=3

U₂=2x2 +1=5

U₃=2x3 +1=7

U₀=2x4 +1=1

Suites définies par une formule implicite ou par récurrence

Ce sont des suites définies par la valeur du premier terme et une relation u_n+1=f(u_n) pour tout n. Elles sont définies par une formule de récurrence (Formule de récurrence : un terme de la suite s’écrit en fonction du ou des précédents).

Exemple: u_n+1= 3u_n + 2 et u_o=1

Calculons les deux premiers termes:

u₁= 3u₀ + 2= 3x1 + 2=5

u₂= 3u₁ + 2= 3x5 + 2=17

Le raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence permet de montrer qu’une propriété, qui dépend d’un entier naturel est vraie pour tout entier supérieur ou égal à un entier naturel donné.

Ø Principe de raisonnement par récurrence :

Pour démontrer par récurrence qu’une proposition est vraie pour tout entier naturel (étant un entier naturel donné), on peut suivre les étapes suivantes :

·1ère étape : initialisation : On vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme.

· 2ème étape : hérédité: On suppose qu’elle est vraie pour un certain rang p (cette supposition est appelée hypothèse de récurrence), on montre par la suite qu’elle est aussi vraie au rang p+1(on dit dans ce cas que la propriété est héréditaire).

· 3ème étape : conclusion: Une fois les étapes 2 et 3 sont vérifiées, on conclut d’après le principe de raisonnement par récurrence

qu’elle est vraie pour tout entier naturel.

Exemple:

Soit la suite u₀=2 et u_n+1=5u_n +4, montrons qu’elle est à termes positifs.

· Initialisation: on montre que le premier terme est positif: u₀=2>0

· Hérédité: on montre que si u_p>0 alors u_p+1>0 u_p+1=5u_p+4>0 et il y a hérédité.

· Conclusion : Par récurrence la propriété est vraie pour tout n.

ETUDE D’UNE SUITE NUMERIQUE

Variations d’une suite

Définition :

Soit (u_n) une suite de nombre réels. E est son ensemble de définition et I, un intervalle de E.

· La suite (u_n) est croissante si, pour tout entier naturel n, u_{n+1 ≥}u_n.

· La suite (un) est strictement croissante si, pour tout entier naturel n, u_n+1> u_n.

· La suite (un) est décroissante si, pour tout entier naturel n, u_n+1 ≤ u_n.

· La suite (un) est strictement décroissante si, pour tout entier naturel n, u_n+1< u_n.

Méthode:

a) La méthode algébrique

Ø On étudie le signe de u_n+1-u_n

· Si pour tout n de E, u_n+1-u_n≥ 0, alors la suite u_n est croissante.

· Si pour tout n de E, u_n+1-u_n≤ 0, alors la suite un est décroissante.

Exemple:

Ø Un compare le quotient à 1, si pour tout entier naturel n de E, u_n ≥ 1

· Si pour tout n de E, alors la suite un est croissante.

· Si pour tout n de E, alors la suite un est décroissante.

Exemple:

b) Étude à l‘aide d’une fonction

Si u_n =f(n), alors un a le même sens de variation que la fonction f.

On étudie donc les variations de la fonction sur I contenant E.

· Si f est croissante sur I, alors la suite u_n est croissante.

· Si f est décroissante sur I, alors la suite u_n est décroissante.

Exemple:

c) Utilisation du raisonnement par récurrence (vu plus haut)

Suites majorées, minorées, bornées

Définition :

Soit (u_n) une suite de nombre réels.

· La suite (u_n) est majorée s’il existe un nombre réel M tel que, pour tout entier naturel n, u_n≤ M.

· La suite (u_n) est minorée s’il existe un nombre réel m tel que, pour tout entier naturel n, u_n≥ m.

· La suite (u_n) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple:

Convergence d’une suite

Définition :

Une suite (u_n) est une suite convergente vers le nombre réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Le nombre réel l est la limite de la suite (un), on écrit:

Une suite est divergente si elle n’est pas convergente (sa limite est infinie ou n’existe pas).

Théorème : Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

Remarque :

Si la suite (u_n) est croissante et majorée par un réel M, alors la limite de (u_n) est inférieure ou égale à M; cette limite n'est pas nécessairement M.

Suites monotones convergentes :

Théorème : Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

Remarque :

Si la suite (u_n) est croissante et majorée par un réel M, alors la limite de (u_n) est inférieure ou égale à M; cette limite n'est pas nécessairement M.

Exemple: La suite (un) définie par et u₀ = 0 est croissante et majorée par 2; elle converge donc mais sa limite n'est pas 2 mais le nombre

Propriétés :

Si (u_n) converge vers l, et si (u_n) est croissante, alors pour tout n de IN, u_n≤ l. Si (u_n) converge vers l, et si (u_n) est décroissante, alors pour tout n de IN, u_n≥ l.

Suites adjacentes

Définition :

On dit que deux suites (u_n) et (v_n) définies sur IN sont adjacentes si et seulement si les trois conditions suivantes sont réalisées :

Pour tout entier naturel n,

Ø ;

Théorème :

Si les deux suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.

REPRESENTATION GRAPHIQUE DES TERMES D’UNE SUITE

Si la suite (u_n) a son terme général défini en fonction de n, on représente la suite dans un repère du plan, par un ensemble de points de coordonnées (n; u_n). Cette représentation graphique permet de visualiser les variations de la suite et éventuellement la convergence.

Méthode:

· Commencer par représenter la fonction et la première bissectrice.

· Placer le point d’abscisse u₀ sur l’axe des abscisses

· A partir du point d’abscisse u₀ sur l’axe des abscisses, on obtient sur l’axe le point d’abscisse u₁ en traçant une parallèle à l’axe des ordonnées qui coupe la courbe au point A₀(u₀, u₁), on trace ensuite une parallèle à l’axe des abscisses qui passe par A₀; cette parallèle coupe la première bissectrice en un autre point. En traçant une autre parallèle à l’axe des ordonnées passant par ce point, cette nouvelle parallèle coupe l’axe des abscisses au point u₁.

· On répète le processus.

EXERCICES

EXERCICE I:

1.Montrer que la suite numérique (u_n) définie par: est majorée par 1 et minorée par 0

2.Soit la suite numérique (u_n) telle que:

Montrer par récurrence que pour tout n, 0<u_n<1.

3.Montrer par récurrence que pour tout n, u_n= (-4)ⁿ⁺¹ +1

EXERCICE II:

Soit la suite (u_n) définie par:

On suppose que la suite (u_n) est décroissante et que: 0≤u_n≤1

Démontrer que la suite(u_n) est convergente et déterminer sa limite.

EXERCICE III:

On considère la suite v_n définie par:

Démontrer que la suite v_n est minorée par Ѵ2 et majorée par 2.

EXERCICE IV:

Soit la suite (u_n) telle que pour tout entier naturel n .

A - Approche « récurrente » :

1/ Vérifier 0 £ u_n £ 1 pour tout entier n .

2/ Montrer que la suite u est croissante. Qu’en conclure ?

3/ Calculer .

B - Approche « fonctionnelle » :

Soit f définie sur [0 ; +∞ [ telle que .

1/ Montrer que f est continue, strictement croissante sur [0 ; +∞[

2/ Calculer

3/ Expliquer pourquoi l’approche « fonctionnelle » permet d’obtenir les résultats cherchés dans la partie A , alors qu’elle n’aurait pas été applicable si on avait définie u par

EXERCICE V:

On considère la suite (u_n) définie par u₀=1 et la relation de récurrence:

1) Justifier l’existence de cette suite.

2) Si la suite était convergente, quelle serait sa limite ? Quelle conclusion peut-on en tirer sur le comportement de la suite à l’infini.

EXERCICE VI : Soit la suite (u_n) définie par:

1.Montrer que -1<u_n<0 pour tout n ϵN

2.Montrer que u_n est une suite strictement croissante.

3. Montrer que:

En déduire que:

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CORRIGES

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