REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION

BRANCHES INFINIES D’UNE REPRESENTATION GRAPHIQUE

Branches paraboliques

Lorsque la fonction f(x) tend vers l’infini quand x tend vers l’infini, la courbe Cf représentative de la fonction admet une branche parabolique.

Si = + alors la courbe admet une branche parabolique:

· =gt; la courbe admet une branche parabolique de direction (O, I).

· =gt; la courbe admet une branche parabolique de direction (O, J).

Asymptote verticale

Lorsque la fonction f(x) tend vers l’infini quand x tend vers a, la droite d’équation x=a est asymptote verticale.

Exemple:

,

=gt; la droite x=1 est asymptote verticale.

Asymptote horizontale

Lorsque la fonction f(x) tend vers un nombre b quand x tend vers l’infini, la droite d’équation y=b est asymptote horizontale.

Exemple:

,

=gt; la droite y=2 est asymptote horizontale.

Asymptote oblique

La droite y=ax + b est une asymptote oblique à la courbe en si = 0.

Exemple:

f(x) peut s’écrire sous la forme +

=gt; la droite y=x-1 est asymptote oblique.

Position relative de la courbe par rapport à son asymptote

La position relative entre deux courbes Cf et Cg est donnée par le signe de la différence f(x)-g(x).

· Si f(x)-g(x)gt;0 sur l’ensemble I, Cf est au-dessus (strictement) de Cg sur cet ensemble de points.

· Si f(x)-g(x)lt;0 sur l’ensemble I, Cf est au-dessous (strictement) de Cg sur cet ensemble de points.

· Si f(x)-g(x)=0 sur l’ensemble I, Cf coupe Cg sur cet ensemble de points.

PROPRIETES GEOMETRIQUES D’UNE REPRESENTATION GRAPHIQUE

Fonction paire – fonction impaire
 Soit f une fonction, Df son domaine de définition on dit que :
Ø f est paire si pour tout x #1013; Df tel que -x #1013; Df on a f(-x) = f(x)
Ø f est impaire si pour tout x #1013; Df tel que -x #1013; Df on a f(-x) = - f(x)

Remarque :
Ø La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Ø La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

Fonction périodique
soit f une fonction, d’ensemble de définition Df . Soit T un nombre réel strictement positif. On dit que
f est périodique de période T si pour tout x #1013; Df tel que x + #119879; #1013; Df on a : f(x +T) = f(x)

Remarque :

Pour étudier une fonction périodique, on l’étudie sur une période et on représente la courbe C0 sur une période. On obtient sa représentation graphique(Cf) en prenant les image de(C0) par une série de translation de (C0) sur tout le domaine de définition.

Eléments de symétrie d’une courbe
Ø centre de symétrie : Soit une f fonction, (Cf) sa courbe représentative. On dit que le point #921;(a,b) est centre de symétrie de (Cf) si pour tout x de Df tel que a - x et a + x appartiennent à Df ,on a : f(a – x) + f(a + x) = 2b.ou f(2a – x) + f( x) = 2b

Ø axe de symétrie : Soit une f fonction, (Cf) sa courbe représentative. On dit que la droite (D) d’équation x = a est un axe de symétrie de (Cf) si pour tout x de Df tel que a - x et a + x appartiennent à Df , on a : f(a – x) = f(a + x) ou f(2a – x) = f( x)

Fonction associée à une fonction donnée

Le plan est muni d’un repère orthogonal (O, I, J).

Pour faire des constructions, on utilise les propriétés suivantes:

Soient f et g deux fonctions de courbes respectives Cf et Cg

1.si g(x)=-f(x) alors Cg est l’image de Cf par symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses.

La courbe de la fonction x #8611; - f(x) s’obtient de celle de f en faisant une symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Ses variations sont contraires à celles de f.
2. Si g(x)=f(-x) alors Cg est l’image de Cf par symétrie orthogonale par rapport à l’axe des ordonnées.

La courbe de la fonction x #8611; f( - x) s’obtient de celle de f en faisant une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Ses variations sont contraires à celles de f .

3.Si g(x)=

-Dans la zone du plan où Cf est au-dessus de l’axe des abscisses, alors Cg est confondu à Cf.

- Dans la zone du plan où Cf est en dessous de l’axe des abscisses, alors Cg est l’image de Cf par symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses.

4.Si g(x)= ,Cg est la réunion de la courbe Cf située à droite de l’axe des ordonnées et son symétrique par rapport à cet axe.
5. La courbe de la fonction x #8611; f(x - a) s’obtient de celle de f en faisant une translation de vecteur ( a,0) . Ses variations sont identiques à celles de f.
6. La courbe de la fonction x #8611; f(x) + b s’obtient de celle de f en faisant une translation de vecteur ( 0,b). Ses variations sont identiques à celles de f.
7. La courbe de la fonction x #8611; f(x - a) + b s’obtient de celle de f en faisant une translation de vecteur ( a,b). Ses variations sont identiques à celles de f.

ETAPES DE L’ETUDE D’UNE FONCTION :
1. Variations de f

Ensemble de définition

Ensemble d’étude

-parité

-périodicité

Déterminer les limites aux bornes du domaine de définition ;

Dérivé

-déterminer f’

-signe de f’

Tableau de variation

2-Représentation graphique

Points et droites remarquables

-Asymptotes

-Tangentes

Constructions de la courbe

-table de valeurs

-choix du repère et des unités

3-Propriétés graphiques

Éléments de symétrie

-axes de symétrie

-centre de symétrie

Branches paraboliques

Points d’inflexion

EXERCICES

EXERCICE I:

A-Soit la fonction .Cochez la bonne réponse.

1-Le domaine de définition de f est:

a) R\{0} b) R\{1} c) R\{2} d) R\{-1}

2-L’image par f de 0 est:

a) -2 b) 2 c) 1 d) -1

3-La limite de f(x) lorsque x tend vers -1 est:

a) -1/2 b) 1/2 c)3/2 d) -3/2

4-Le nombre dérivé au point x0=2 est:

a) -3 b) 2 c) 3 d)-2

5-L’équation de la tangente au point x0=0 est:

a) y=0 b) y=2 c) y=-3x-1 d) y=x+2

B-Soit la fonction f(x)=2(x2 +1)2. Cochez la bonne réponse.

1-Le domaine de définition de f est:

a) ] -#8734;; +#8734;[ b) [+#8734;;-#8734;] c) [ -#8734;; +#8734;[ d) ] +#8734;;-#8734;[

2-L’image par f de 0 est:

a) 4 b) -4 c) -2 d) 2

3-La limite de f(x) lorsque x tend vers -1 est:

a) 8 b) 4 c)-8 d) -4

4-Le nombre dérivé au point x0=-1 est:

a) 16 b) 8 c) -16 d)-8

5-L’équation de la tangente au point x0=0 est:

a) y=0 b) y=2 c) y=1 d) y=x+2

EXERCICE II:

Soit f la fonction numérique définie sur l’intervalle [ -2;4] par f(x)=-x2 + 2x
On note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O,I,J).

1-Déterminer les images de -2 et 4

2-Calculer la dérivée de f et étudier son signe sur [-2; 4]

3-Dresser le tableau de variation de f.

4-Tracer la courbe (C) de la fonction f dans le repère (O, I, J)

5-Déduire dans le même repère la courbe (C’) de la fonction g définie par g(x) = |f(x)|

EXERCICE III:

On donne la fonction définie sur [-1; +#8734;[ et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,I,J) d’unité 2cm.
1- Calculer f(-1).

2-Calculer la dérivée de f(x).

3-Montrer qu’on peut trouver deux réels a et b tels que , a et b sont des coefficients réels.

4- Dresser le tableau de variation de f.

5- Déterminer une équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe de f au point d’abscisse x0=3.

6-Montrer que la droite (D) d’équation y=2 est une asymptote.

7- Tracer la courbe (T), (D) puis la courbe Cf.

EXERCICE IV:

On considère la courbe (C) de la fonction f donnée ci-contre. En s’inspirant de ce graphique, répondre aux questions suivantes:

1-Déterminer l’ensemble de définition de f.

2-Déterminer les réels f (-1) et f (4).

3-Déterminer graphiquement les solutions dans [-1; 4] de:

a) f(x)=0

b) f(x)#8804; 0

c) f(x)=1

d) f(x) 4

4-Dresser le tableau de variation de f sur [-1; 4]

5-Que représente le point S(1,5;-1,2) pour la courbe ( C )?

6-On pose f(x) = ax2 + bx +; trouver a et b.

7-Reproduire la courbe (C) et en déduire dans le même repère, la courbe (C’) de la fonction définie dans [ -1; 4] par g(x) = | f(x)|

EXERCICE V:

EXERCICE VI:

EXERCICE VII: