REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION

BRANCHES INFINIES D’UNE REPRESENTATION GRAPHIQUE

Asymptote verticale

Lorsque la fonction f(x) tend vers l’infini quand x tend vers a, la droite d’équation x=a est asymptote verticale.

Exemple :

=> la droite y=1 est asymptote verticale.

Asymptote horizontale

Lorsque la fonction f(x) tend vers un nombre b quand x tend vers l’infini, la droite d’équation y=b est asymptote horizontale.

Exemple :

=> la droite y=2 est asymptote horizontale.

Asymptote oblique

La droite y=ax + b est une asymptote oblique à la courbe en =0

Branches paraboliques

Lorsque la fonction f(x) tend vers l’infini quand. X tend vers l’infini, la courbe C_freprésentative de la fonction admet une branche parabolique.

Si =+ alors la courbe admet une branche parabolique.

· =0 => la courbe admet une branche parabolique de direction (O, I).

· = => la courbe admet une branche parabolique de direction (O, J).

Position relative de la courbe par rapport à son asymptote.

La position relative entre deux courbes Cf et Cg est donnée par le signe de la différence f(x)-g(x).

· Si f(x)-g(x)>0 sur l’ensemble I, Cf est au-dessus (strictement) de Cg sur cet ensemble de points.

· Si f(x)-g(x)<0 sur l’ensemble I, Cf est au-dessous (strictement) de Cg sur cet ensemble de points.

· Si f(x)-g(x)=0 sur l’ensemble I, Cf coupe Cg sur cet ensemble de points.

ETAPES DE L’ETUDE D’UNE FONCTION POLYNOME OU RATIONNELLE
a) déterminer le domaine de définition
b) déterminer les limites aux bornes du domaine de définition ;
c) déterminer ou justifier l’existence des asymptotes ;
d) déterminer le sens de variation et dresser le tableau de variation ;
e) déterminer ou justifier l’existence des éléments de symétries ;
f) déterminer l’équation de certaines tangentes :
g) déterminer les points de rencontre avec les axes et dresser une table des valeurs :
h) tracer soigneusement la courbe

EXERCICES

EXERCICE I :

A-Soit la fonction .Cochez la bonne réponse.

1-Le domaine de définition de f est :

a) R\{0} b) R\{1} c) R\{2} d) R\{-1}

2-L’image par f de 0 est :

a) -2 b) 2 c) 1 d) -1

3-La limite de f(x) lorsque x tend vers -1 est :

a) -1/2 b) 1/2 c)3/2 d) -3/2

4-Le nombre dérivé au point x₀=2 est :

a) -3 b) 2 c) 3 d)-2

5-L’équation de la tangente au point x₀=0 est :

a) y=0 b) y=2 c) y=-3x-1 d) y=x+2

B-Soit la fonction f(x)=2(x² +1)². Cochez la bonne réponse.

1-Le domaine de définition de f est :

a) ] - ∞ ; +∞[ b) [+∞ ;- ∞] c) [ - ∞ ; +∞[ d) ] +∞ ;- ∞[

2-L’image par f de 0 est :

a) 4 b) -4 c) -2 d) 2

3-La limite de f(x) lorsque x tend vers -1 est :

a) 8 b) 4 c)-8 d) -4

4-Le nombre dérivé au point x₀=-1 est :

a) 16 b) 8 c) -16 d)-8

5-L’équation de la tangente au point x₀=0 est :

a) y=0 b) y=2 c) y=1 d) y=x+2

EXERCICE II :

Soit f la fonction numérique définie sur l’intervalle [ -2 ;4] par f(x)=-x² + 2x
On note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O,I,J).

1-Déterminer les images de -2 et 4

2-Calculer la dérivée de f et étudier son signe sur [-2; 4]

3-Dresser le tableau de variation de f.

4-Tracer la courbe (C) de la fonction f dans le repère (O, I, J)

5-Déduire dans le même repère la courbe (C’) de la fonction g définie par g(x) = |f(x)|

EXERCICE III :

On donne la fonction définie sur [-1 ; +∞[ et C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,I,J) d’unité 2cm.
1- Calculer f(-1).

2-Calculer la dérivée de f(x).

3-Montrer qu’on peut trouver deux réels a et b tels que , a et b sont des coefficients réels.

4- Dresser le tableau de variation de f.

5- Déterminer une équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe de f au point d’abscisse x₀=3.

6-Montrer que la droite (D) d’équation y=2 est une asymptote.

7- Tracer la courbe (T), (D) puis la courbe Cf.

EXERCICE IV :

On considère la courbe (C) de la fonction f donnée ci-contre. En s’inspirant de ce graphique, répondre aux questions suivantes :

1-Déterminer l’ensemble de définition de f.

2-Déterminer les réels f (-1) et f (4).

3-Déterminer graphiquement les solutions dans [-1 ; 4] de :

a) f(x)=0

b) f(x)≤ 0

c) f(x)=1

d) f(x) 4

4-Dresser le tableau de variation de f sur [-1 ; 4]

5-Que représente le point S(1,5 ;-1,2) pour la courbe ( C ) ?

6-On pose f(x) = ax² + bx + ; trouver a et b.

7-Reproduire la courbe (C) et en déduire dans le même repère, la courbe (C’) de la fonction définie dans [ -1 ; 4] par g(x) = | f(x)|

EXERCICE V :

EXERCICE VI :

EXERCICE VII :

CORRIGES

EXERCICE I :

1-b

2-d

3-b

4-a

5-c

EXERCICE II :

1-Déterminer les images de -2 et 4

f(-2)=-(-2)²+2(- 2)=-4-4=-8

f(4)=-(4)²+2(4) =-16+8=-8

2-Calcul de la dérivée de f et étude de son signe sur [-2; 4]

f’(x)=-2x+2

f’(x)=0 <=>-2x+2=0 =>x=1

f(1)=-(1)² +2(1)=1 Le point A(1,1) est un extrémum.

Pour tout xϵ [-2 ; 1], f’(x) ≥0 => la courbe de f est croissante.

Pour tout xϵ [1 ; 4], f’(x)≤0 => la courbe de f est décroissante.

3- Tableau de variation de f.

x	-2 1 4
f’(x)	+	-
f(x)	-8. 1 -8

EXERCICE III :

On donne la fonction définie sur [-1 ; +∞[ et C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,I,J) d’unité 2cm.
1- Calculer f(-1).

2-Calculer la dérivée de f(x).

3-Montrer qu’on peut trouver deux réels a et b tels que , a et b sont des coefficients réels.

or f(x) est aussi égal à

On obtient par identification a=2 et 2a+b=-1. => -1-2(2)=-5

4- Dresser le tableau de variation de f.

x	-1 +∞
f’(x)	+
f(x)	1 2

5- Déterminer une équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe de f au point d’abscisse x₀=3.

y=f’(x₀)(x-x₀) +f(x₀). <=> +1=

EXERCICE IV :

1-Df= [-1 ; 4]

2-Déterminer les réels f (-1) et f(4).

f(-1)=5

f(4)=5

3-Déterminer graphiquement les solutions dans [-2 ; 4] de :

a) S=

b) S= [0,4 ; 2,6]

c) S=

d) S=

4-Dresser le tableau de variation de f sur [-1 ; 4]

x	-1. 1,5 . . . . 4
f’(x)	-	+
f(x)	5 -1,2 5

5-Minimum

f(1)=a(1)²+b(1)+ =-1

f(4)=a(4)²+b(4)+ =5 => => => a=1et b=-3

f(x)=x²-3x+1

EXERCICE V :

3) x=-2

5) La courbe de la fonction x ↣ - f(x) s’obtient de celle de f en faisant une symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Ses variations sont contraires à celles de f.

6)f(-3)=-3 ;f(-1)=1 et f’(-3)=0