CORRIGES

EXERCICE I :

1-b

2-d

3-b

4-a

5-c

EXERCICE II :

1-Déterminer les images de  -2 et 4

f(-2)=-(-2)²+2(- 2)=-4-4=-8

f(4)=-(4)²+2(4) =-16+8=-8

2-Calcul de la dérivée de f et étude de son signe sur [-2; 4]

f’(x)=-2x+2

f’(x)=0  <=>-2x+2=0  =>x=1

f(1)=-(1)² +2(1)=1 Le point A(1,1) est un extrémum.

Pour tout xϵ [-2 ; 1], f’(x) ≥0 => la courbe de f est croissante.

Pour tout xϵ [1 ; 4], f’(x)≤0 => la courbe de f est décroissante.

3- Tableau de variation de f.

x	-2                                          1                                                             4
f’(x)	+	-
f(x)	-8.                                         1                                                             -8

EXERCICE III :

On donne la fonction       définie sur [-1 ; +∞[   et C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,I,J) d’unité 2cm.
1- Calculer f(-1).

2-Calculer la dérivée de f(x).

3-Montrer qu’on peut trouver deux réels a et b tels que   , a et b sont des coefficients réels.

   or  f(x) est aussi égal à 

On obtient par identification a=2 et 2a+b=-1. => -1-2(2)=-5

4- Dresser le tableau de variation de f.

x	-1                                                                                                      +∞
f’(x)	+
f(x)	1                                                                                                      2

5- Déterminer une équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe de f au point d’abscisse x₀=3.

y=f’(x₀)(x-x₀) +f(x₀).  <=>  +1=

6-

EXERCICE IV :

1-Df= [-1 ; 4]

2-Déterminer les réels f (-1) et f(4).

f(-1)=5

f(4)=5

3-Déterminer graphiquement les solutions dans [-2 ; 4] de :

a)    S=

b)    S= [0,4 ; 2,6]

c)    S=

d)    S=

4-Dresser le tableau de variation de f sur [-1 ; 4]

x	-1.                           1,5       .      .   .   .                      4
f’(x)	-	+
f(x)	5                           -1,2                                              5

5-Minimum

6-

f(1)=a(1)²+b(1)+ =-1

f(4)=a(4)²+b(4)+ =5  =>  =>  =>  a=1et b=-3

f(x)=x²-3x+1

EXERCICE V :

1-

2-

3) x=-2

4)

5) La courbe de la fonction x ↣ - f(x) s’obtient de celle de f en faisant une symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Ses variations sont contraires à celles de f.

6)f(-3)=-3 ;f(-1)=1 et f’(-3)=0

=>

7)

=>y=x+1 est asymptote oblique à la courbe de f.

EXERCICES VI :

1- U

2a)

b) f’(x)=0 ; S={-1,3}

f(x)=0 ; S=Փ

f(x)=3 ; S={2,5}

c) f’(x)≥0;S=]-∞,-1]U[3.+∞[

      f(x)≥0; S=]1,+∞[

3-a)

x	-∞                -1                            1                                  3                 +
f’(x)	+	-	-	+
f(x)	-∞.               -6                 -∞		2                   +

b) La droite (D1) d’équation x=1 est asymptote verticale car

La droite (D2) d’équation y=ax +b est asymptote oblique

Le point de coordonnées (3 ;0) appartient à (D2) <=>0=3a +b

Le point de coordonnées (0 ;-3) appartient à (D2)  <=>-3=a(0) +b => b=-3 et a=1 donc y=x-3 est asymptote oblique.

c)f(x) admet y=x-3 comme asymptote oblique donc f(x peut s’écrire sous la forme

 +

f(-1)=-6  <=>=-6  =>c=-2d+2

f(3)=2    <=>  =2  =>c=2d+6

- 2d+2=2d+6 =>-4d=4 =>d=-1 par la suite c=4

Donc  +