DERIVEES


 DEFINITION

         Soit f, une fonction numérique définie sur I, un intervalle et x0est un réel  I. On dit que f est dérivable sur I si:

existe et est finie.

Cette limite est appelée le nombre dérivé de f en x0. On le note: f’(x0).

Exemple:

f(x)= 

  =      =     

       

 CALCUL DES DÉRIVÉES

 OPERATIONS SUR LES FONCTIONS DERIVABLES

Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I de et k un nombre réel non nul.

Exemple:

 DERIVEES SUCCESSIVES : POINT D'INFLEXION


.         Lorsque la dérivée seconde s'annule en un point d'abscisse x0 en changeant de signe, alors
le point d'abscisse x0 est appelé « point d’inflexion ».
           Au point d'inflexion, la courbe traverse la tangente et change de concavité

 EQUATION DE LA TANGENTE A LA COURBE D’UNE. FONCTION

· Soient une fonction f, (C) sa courbe représentative et A un point de (C) d’abscisse x0. Si f est dérivable en x0, alors(C) admet en A une tangente (T) dont le coefficient directeur est f’(x0).

La tangente (T) en x0 a pour équation:

y= f’(x0)(x-x0) + f(x0)

Exemple: f(x)=x2 +2  et x0=3

f’(x) =2x

f’(3=2(3)=6

f(3)=(3)2 +2 =11

L’équation de la tangente en 3 est: y=6(x-3) + 11=6x+29=> y=6x +29

· Si f’(x0)=0, alors (C) admet au point abscisse x0 une tangente parallèle à l’axe des abscisses (horizontale) d’équation y =f(x0).

 

SENS DE VARIATION

 RECHERCHE DES EXTREMA

Soit la fonction dérivable sur I, un intervalle donné et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,)

On dit que (Cf) admet un extrémum  au point A(x0,f(x0)) si f’(x0)=0 et  pendant l’étude du signe  de la dérivée , on observe un changement  de signe.

Si f croit et décroit ensuite, on a un maximum en M0. Il correspond à la plus grande ordonnée .la courbe admet une tangente horizontale en M0.

Si f décroit et croit ensuite, on a un minimum. Il correspond à la plus petite ordonnée. La courbe admet une tangente horizontale en M0.



TABLEAU DE VARIATION

EXERCICES

EXERCICE I: : Dans chacun des cas suivants, étudier les variations de la fonction puis préciser ses extremums.

1.

2.

3. f(x)=

4. 

5.

EXERCICE II:

EXERCICE III:

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CORRIGES

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