CORRIGES

EXERCICE I:

a. -On va démontrer que les vecteurs  sont égaux.

Affixe de

Affixe de

Donc    et donc ABCD est un parallélogramme.

b.

- le centre du parallélogramme est le milieu I du segment [AC]. Son affixe est:

b.

On va démontrer que les vecteurs  sont colinéaires.

Affixe de

Affixe de

Donc   donc les vecteurs  sont colinéaires et donc les points D, C et E sont alignes.

//

EXERCICE II:

On a : 𝑧_𝐷−𝑧_𝐶 /𝑧_𝐵−𝑧_𝐴 = 5+2𝑖−(5−2𝑖)/ 2−𝑖−(2+𝑖) = 4𝑖 −2𝑖 = −2 .

D’où : 𝑧_𝐷−𝑧_𝐶 /𝑧_𝐵−𝑧_𝐴 ∈ ℝ∗ ;

Par suite les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

2) On a : 𝑧_𝐵−𝑧_𝐼/ 𝑧_𝐽−𝑧_𝐼 = 2−𝑖−1/ 𝑖−1 = - 1.

 D’où : 𝑧_𝐵−𝑧_𝐼 /𝑧_𝐽−𝑧_𝐼 ∈ ℝ∗ .

Par suite les points J, I et B sont alignés.

 3) On a : 𝑧_C−𝑧_D /𝑧_𝐾−𝑧_𝑂 = 5-2𝑖−(5+2𝑖) /4 = - 𝑖 .

 D’où : 𝑧_C−𝑧_D /𝑧_𝐾−𝑧_𝑂 ∈ 𝑖 ℝ∗ .

Par conséquent les droites (OK) et (DC) sont perpendiculaires.

4) On a : 𝑧_𝐵−𝑧_𝐷/ 𝑧_𝐵−𝑧_𝐽 = 2−𝑖−(5+2𝑖)/ 2−𝑖−𝑖 = −3−3𝑖/2−2𝑖 = − 3i/ 2 .

D’où : 𝑧_𝐵−𝑧_𝐷 /𝑧_𝐵−𝑧_𝐽 ∈ 𝑖 ℝ∗ .

 Par suite le triangle JBD est rectangle en B.

5) On a : 𝑧_𝐷−𝑧_𝐶/ 𝑧_𝐷−𝑧_𝐴 : 𝑧_𝐵−𝑧_𝐶 /𝑧_𝐵−𝑧_𝐴 = 4𝑖 /3+𝑖 : −3+𝑖 /−2𝑖 = −4/ 5 .

D’où : 𝑧_𝐷−𝑧_𝐶 /𝑧_𝐷−𝑧_𝐴 : 𝑧_𝐵−𝑧_𝐶 /𝑧_𝐵−𝑧_𝐴 ∈ ℝ∗ .

Par suite les points A, B, C et D sont cocycliques.

EXERCICE III

h étant l’homothétie de centre Ω d’affixe −1 − i et de rapport 3, son écriture complexe est :

 z ′ − (−1 − i) = 3(z − (−1 − i)).

Par suite, l’écriture complexe de l’homothétie h de centre Ω(−1 − i)

et de rapport 3 est : z ′ = 3z + 2 + 2i.

2) L’écriture complexe de la translation 𝑡 de vecteur u⃗ est :

 z ′ = z + z_u⃗ . Or z_u⃗ = 1+4i

L’écriture complexe de la translation 𝑡 de vecteur u⃗ est : z ′ = z +1+4i.

3) L’écriture complexe de la rotation 𝑟 de centre A et d’angle 2π /3 est :

z ′ − (1 + i) = e i 2π/ 3 (z − (1 + i))

 z ′ = ( −1 /2 + i √3 /2 )(z − (1 + i)) +1+i

 z ′= ( −1/ 2 + i √3 /2 ) z + 3/2-√3/ 2 + i (3/2−√3/ 2)

L’écriture complexe de la rotation 𝑟 de centre A d’affixe 1 + i et d’angle 2π/ 3 est :

z ′ = ( −1 /2 + i √3 /2 ) z + 3/2-√3/ 2 + i (3/2−√3/ 2) .

EXERCICE IV:

Soit z’=az + b

a) a = 5, aÎ ℝ∗ \ {1}, 𝑓 est une homothétie de rapport 5.

 Déterminons l’affixe z_Ω de son centre.

z’ = 5z + 2i;

z’=k(z - z_Ω) + z_Ω

z’=5 (z - z_Ω) + z_{Ω  =} 5z + 2i

                                                                                                                     <=> 5z-5 z_{Ω +} z_Ω=5z+2i => zΩ =-2i/4 = -i/2

// z_Ω =𝑏 /1−𝑎 => z_Ω = 2𝑖 /1−5 = − 1/ 2 𝑖

Donc 𝑓 est l’homothétie de centre Ω d’affixe (− 1 /2 )𝑖 et de rapport 5.

b) a = 1 D'où, 𝑓 est la translation de vecteur d'affixe 1+3i.

c) a = 1 /2 + √3/ 2 𝑖, a Î ℂ ∖ ℝ et |1 /2 + √3/ 2 𝑖 | = 1.

Donc 𝑓 est une rotation.

- son angle : Arg(1 /2 + √3/ 2 𝑖) = 𝜋 /3

 - son centre a pour affixe : 1 /2 −𝑖 √3 /2 /1−( 1 2 +𝑖 √3/ 2 ) = 1

z’= e^𝒊q (z – z_Ω) + z_Ω   = e^𝒊q z – e^𝒊q z_Ω + z_Ω   = e^𝒊q z  -+ z_Ω(1- e^𝒊q) = ( −1/ 2 + i √3 /2 ) z + z_Ω(1- ( −1/ 2 + i √3 /2 ))

or    z ′ −  (1/ 2 + 𝑖 √3/2) z + 1 /2 − 𝑖 √3 /2

par identification,

(1/ 2 + 𝑖 √3/2) z + 1 /2 − 𝑖 √3 /2 = ( −1/ 2 + i √3 /2 ) z - z_Ω(1+ ( −1/ 2 + i √3 /2 ))

 1 /2 − 𝑖 √3 /2 = z_Ω(1/2+ i √3 /2 ))

=> z_{Ω  = 1}

D'où, 𝑓 est la rotation de centre d'affixe 1 et d'angle 𝜋 /3

EXERCICE V:

1.On a: f(z)=2e^iπ/3 +3-i

La transformation F du plan associée à la bijection f est la composée d’une translation, d’une rotation de centre O et d’une homothétie de centre O:

avec

2.On peut écrire: f(z)=e^-iπ/4z -i

F est une rotation d’angle oriente de mesure -π/4

Désignons son centre par le point Ω d’affixe ω

On a:  F(Ω)=Ω   <=> f(ω)=ω

<=>Ѵ2/2(1-i)ω-i=ω =>

F est la rotation d’angle oriente de mesure -π/4 et de centre le point d’affixe

3.F est l’homothétie de rapport 2

Désignons son centre par le point Ω d’affixe ω.

On a: F(Ω)=Ω  <=>f(ω)=ω 

<=>2ω-3+i=ω =>ω=3-i

F est l’homothétie de rapport 2 et de centre le point d’affixe 3-i.

4. La bijection complexe f associée à h(Ω,-3) est définie par:

f(z)=-3z +b avec  f(2+i)=2+i

d’ou -3(2+ i) + b=2+i =>b=4(2+i)

donc f(z)=-3z + 4(2+i).

5.La bijection complexe f associée à

 r _(Ω,π/6) est définie par:

f(z)=e^iπ/6 z  +b avec f(1-i)=1-i

d’ou f(1-i)= e^iπ/6(1-i) +b=1-i => b=(1-i)(1- e^iπ/6 )

donc f(z)= e^iπ/6 z +(1-i)(1- e^iπ/6 )

=1/2(Ѵ3+i)z +(1-Ѵ3)/2 – i(3-Ѵ3)/2

6.Soit z un nombre complexe.

On a: f₁(z)=e^iπ/4 z + b₁  et  f₁(2i)=2i  (1)

f₂(z)=-2z +  b₂   et  f2(-i)=-i                (2)

f=f₂of₁                                                (3)

Des égalités (1) on obtient :

 b₁=Ѵ2+(2-Ѵ2)i

Des égalités (2)  on obtient:

b₂=-3i

Et de l’égalité (3) on obtient:

 f(z)=-2e^iπ/4z -2Ѵ2+ (2Ѵ2-7)i .