NOMBRES COMPLEXES ET CONFIGURATIONS DU PLAN
Nombres complexes et configuration du plan
Vecteurs du plan
A
et B sont deux points du plan. Les points A et B sont repérés par :
-soit
par leurs coordonnées (xA ;yA) ;
(xB ;yB)
-soit
par leurs affixes : zA ;zB
De
plus, on a :
=
Le
vecteur
est repéré par :
-ses
coordonnées : (xB-xA, yB-yA)
-son
affixe :
Donc
Angles orientés
A,
B, C, D sont 4 points du plan, la mesure de l’angle forme par les demi-droites
(AB, CD) est donnée par :
(
ou
(
Exemple :
A,B,C,D étant des points d’affixes respectives : Ѵ3
+2i ; Ѵ3+i ; -2i ;1-i ;
Calculons :
(
On a:
Donc
:
=-
Quelques configurations base
Egalite de vecteurs
A,
B, C, D sont 4 points du plan
Exemple : A, B, C, D étant des points d’affixes respectives : -Ѵ3+3i ;
2i ; -i ; Ѵ3-2i
Démontrons
que ABCD est un parallélogramme.
On a:
Donc :
Egalite des distances
A,
B, C, D sont 4 points du plan.
Exemple:
A,B,C étant des points d’affixes
respectives :-i ;1+i ;1-3i
Démontrons
que le triangle ABC est isocèle en A.
On a :
d’où AB=CD
Alignement de trois points
A,
B, C étant des points distincts du plan
Exemple :
A,
B, C étant des points d’affixes respectives : -1-i ; 2+3i ;
-10-13i
Démontrons
que les points A, B, C sont alignes
Orthogonalité de deux droites
A,
B, C, D sont 4 points du plan
Droites parallèles
Propriété : A, B, C et D sont des
points d’affixes respectives zA , zB , zC et 𝑧𝐷
tels que : A≠ B et C≠ D. Les droites (AB) et (CD)
sont parallèles si et seulement si :
A,
B et C sont des points non alignés d'affixes respectives zA , zB
et zC
.
-
Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si :
-
Le triangle ABC est isocèle en A si et seulement si :
- Le triangle ABC est rectangle et isocèle en
A si et seulement si :
-
Le triangle ABC est équilatéral si et seulement si :
Ou
Transformations élémentaires du plan
Ecritures complexes de symétrie centrale de
centre O et de symétries Orthogonales d’axes (OI) et (OJ)dans
le repère(O,I,J).
Propriété
Le plan complexe est
muni d’un repère orthonormé direct (O, I, J).
• La symétrie orthogonale d'axe (OI) a pour
écriture complexe : 𝑧 ′ = 𝑧̅.
• La symétrie centrale de centre O a pour
écriture complexe : 𝑧 ′ = −𝑧.
• La symétrie
orthogonale d'axe (OJ) a pour écriture complexe : 𝑧 ′ = −𝑧̅.
Ecriture complexe d’une translation,
d’une homothétie et une rotation
• Translation de vecteur d'affixe b,
M et M' sont les
points du plan d'affixes respectives z et z'. On a :
𝑀′ = 𝑡𝑢⃗ (𝑀) ⟺
𝑀𝑀′ ⃗
= 𝑢⃗ . ⟺
𝑧 ′ − 𝑧
= 𝑏 ⟺ 𝑧
′ = 𝑧 + 𝑏
La translation de vecteur
d’affixe b a pour écriture complexe :
𝑧 ′ = 𝑧 + 𝑏.
•
Homothétie de centre Ω et de rapport 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ∗
h est l'homothétie de
centre Ω d’affixe Z Ω et de
rapport 𝑘, 𝑘 ∈
ℝ∗ .
M
et M' sont les points du plan d'affixes respectives z
et z'.
On
a :
𝑀′ = ℎ(𝑀) ⟺ Ω𝑀′ ⃗= 𝑘Ω⃗𝑀⃗
<= >Z’-ZΩ = 𝑘(Z - ZΩ)
<= >Z’=k(Z - ZΩ) + ZΩ
L'homothétie de
centre Ω d’affixe Z Ω et de rapport k a pour écriture
complexe :
z’=k(z - zΩ)
+ zΩ
•
Rotation de centre Ω et d’angle 𝜃,
𝜃 ∈ ]−𝜋, 𝜋]
r est la rotation de
centre de centre Ω d’affixe ZΩ et d'angle orienté de
mesure principale 𝜃.
• M et M' sont les points
du plan d'affixes respectives z et z' tels que M est distinct de Ω.
On a:
𝑀′ = 𝑟(𝑀)
⟺ Ω𝑀′
= Ω𝑀
et 𝑀𝑒𝑠(Ω𝑀;
⃗ Ω𝑀′ ̂) = 𝜃
• 𝑟(Ω)
= Ω
On a :
z’−𝒛Ω /𝒛−𝒛Ω =𝒆 𝒊q z’=𝒆 𝒊q (z – zΩ)
+ zΩ
La rotation de centre Ω
d’affixe zΩ et d'angle orienté de mesure principale 𝜃
a pour écriture complexe :
z’= e𝒊q (z – zΩ)
+ zΩ
• M et M' sont les
points du plan d'affixes respectives z et z' tels que M est distinct de Ω.
On a:
𝑀′ = 𝑟(𝑀)
⟺ { Ω𝑀′
= Ω𝑀 et 𝑀𝑒𝑠(Ω𝑀;
⃗ Ω𝑀′ ̂) = 𝜃
}
•
𝑟(Ω) = Ω, le point Ω
est invariant
On
a :
z’−𝒛Ω /𝒛−𝒛Ω =𝒆 𝒊q <= > z’=𝒆
𝒊q (z – zΩ)
+ zΩ
La
rotation de centre Ω d’affixe ZΩ et
d'angle orienté de mesure principale 𝜃 a pour écriture
complexe :
z’=𝒆 𝒊q (z – zΩ) + zΩ
EXERCICES
EXERCICE I:
On considère les points A(-2+3i), B(2+4i),
C(5+3i), D(1+2i) et E (-7).
a.
Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Calculer l’affixe de son centre.
b.
Les points D, C et E sont-ils alignés ?
EXERCICE II:
Le plan complexe est muni d’un repère
orthonormé direct (O ; u ,v ).
On donne les points A, B, C, D et K d’affixes
respectives 2 + 𝑖, 2 - 𝑖, 5 - 2𝑖,
5 + 2𝑖 et 4. Justifie que :
1)
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles ;
2)
Les points J, I et B sont alignés ;
3)
Les droites (OK) et (DC) sont perpendiculaires ;
4)
Le triangle JBD est rectangle en B ;
5)
Les points A, B, C et D sont cocycliques.
EXERCICE
III :
Le plan
complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O;
OI , OJ
).
1)
Détermine l’écriture complexe de l’homothétie h de centre Ω d’affixe −
1 − i et de rapport 3.
2)
Détermine l’écriture complexe de la translation 𝑡 de vecteur u⃗
d’affixe 1 + 4𝑖.
3)
Détermine l’écriture complexe de la rotation 𝑟 de centre A d’affixe 1
+ 𝑖 et d’angle 2π/ 3
.
EXERCICE
IV :
Le plan complexe est muni d’un repère
orthonormé direct (O ; OI , OJ ).
Détermine
dans chaque cas, la nature et les éléments caractéristiques de la
transformation 𝑓 du plan défini par son écriture
complexe :
a) z’ = 5z + 2i;
b) z’ = z + 1 +
3i;
c) z’ = (1 2 + √3 2 𝑖)z + 1 2 − √3 2 𝑖 ;
EXERCICE V :
1.
déterminer la transformation F du plan associée à la bijection complexe f
définie par : f(z)=(1+iѴ3)z +3-i
2.
déterminer la transformation F du plan associée à la bijection complexe f
définie par : f(z)=Ѵ2/2(1-i)z -i
3.
déterminer la transformation F du plan associée à la bijection complexe f
définie par : f(z)=2z -3+i
EXERCICE VI :
1.Déterminer
la transformation F du plan associée à l’homothétie h de rapport -3 et de
centre le point Ω d’affixe 2+i.
2.Déterminer
la bijection complexe f associée à la rotation r d’angle oriente de mesure
π/6 et de centre le point Ω d’a affixe 1-i.
EXERCICE VIII:
r est une rotation d’angle oriente de mesure π/4 et de
centre le point A d’affixe 2i,
h une homothétie de rapport -2 et de centre le point B
d’affixe -i
On
désigne par F la transformation hor du plan.
Déterminer
la bijection complexe f associée à F
CORRIGES
EXERCICE I :
a. -On va démontrer que les vecteurs 
sont égaux.
Affixe de 
Affixe de 
Donc 
et donc ABCD est un parallélogramme.
b.
- le centre du parallélogramme est le milieu I du segment [AC]. Son
affixe est :
b.
On va démontrer que les vecteurs 
sont colinéaires.
Affixe de 
Affixe de 
Donc 
donc les vecteurs sont colinéaires et donc les points D, C et E
sont alignes.
EXERCICE II :
On a : 𝑧𝐷−𝑧𝐶 /𝑧𝐵−𝑧𝐴 = 5+2𝑖−(5−2𝑖)/ 2−𝑖−(2+𝑖) = 4𝑖 −2𝑖 = −2 .
D’où : 𝑧𝐷−𝑧𝐶 /𝑧𝐵−𝑧𝐴 ∈ ℝ∗ ;
Par suite les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
2) On a : 𝑧𝐵−𝑧𝐼/ 𝑧𝐽−𝑧𝐼 = 2−𝑖−1/ 𝑖−1 = - 1.
D’où : 𝑧𝐵−𝑧𝐼 /𝑧𝐽−𝑧𝐼 ∈ ℝ∗
.
Par suite les points J, I et B sont alignés.
3) On a : 𝑧𝐷−𝑧𝐶 /𝑧𝐾−𝑧𝑂 = 5+2𝑖−(5−2𝑖) /4−1 = 4/ 3 𝑖 .
D’où : 𝑧𝐷−𝑧𝐶 /𝑧𝐾−𝑧𝑂 ∈ 𝑖 ℝ∗ .
Par conséquent les droites (OK) et (DC) sont perpendiculaires.
4) On a : 𝑧𝐵−𝑧𝐷/ 𝑧𝐵−𝑧𝐽 = 2−𝑖−(5+2𝑖)/ 2−𝑖−𝑖 = −3−3𝑖/2−2𝑖 = − 3/ 2 𝑖.
D’où : 𝑧𝐵−𝑧𝐷 /𝑧𝐵−𝑧𝐽 ∈ 𝑖 ℝ∗ .
Par suite le triangle JBD est
rectangle en B.
5) On a : 𝑧𝐷−𝑧𝐶/ 𝑧𝐷−𝑧𝐴 : 𝑧𝐵−𝑧𝐶 /𝑧𝐵−𝑧𝐴 = 4𝑖 /3+𝑖 : −3+𝑖 /−2𝑖 = −2/ 5 .
D’où : 𝑧𝐷−𝑧𝐶 /𝑧𝐷−𝑧𝐴 : 𝑧𝐵−𝑧𝐶 /𝑧𝐵−𝑧𝐴 ∈ ℝ∗
.
Par suite les points A, B, C et D sont cocycliques.
EXERCICE III
h étant l’homothétie de centre Ω
d’affixe −1 − i et de rapport 3, son écriture complexe est :
z ′
− (−1 − i) = 3(z − (−1 − i)).
Par suite, l’écriture complexe de l’homothétie h de centre Ω(−1 − i)
et de rapport 3 est : z ′ = 3z +
2 + 2i.
2) L’écriture complexe de la translation 𝑡 de vecteur u⃗ est :
z ′
= z + zu⃗ . Or zu⃗ = 1+4i
L’écriture complexe de la translation 𝑡 de vecteur u⃗ est : z ′
= z +1+4i.
3) L’écriture complexe de la rotation 𝑟 de centre A et d’angle 2π /3 est :
z ′ − (1 + i) = e i 2π/
3 (z − (1 + i)) z ′
= ( −1 /2 + i √3 /2 )(z −
(1 + i)) +1+i z ′
= ( −1/ 2 + i √3 /2 ) z + 3+√3/
2 + i 3−√3/ 2
L’écriture complexe de la rotation 𝑟 de centre A d’affixe 1 + i et d’angle 2π/ 3 est :
z ′ = ( −1 /2 + i √3 /2 ) z + 3+√3/ 2
+ i 3−√3/ 2 .
EXERCICE IV :
a) a = 5, aÎ ℝ∗ \ {1}, 𝑓 est une homothétie de rapport 5.
Déterminons l’affixe z0
de son centre.
z0 = 2𝑖 /1−5 = − 1/ 2 𝑖
Donc 𝑓 est
l’homothétie de centre A d’affixe − 1 /2 𝑖 et de rapport 5.
b) a = 1 D'où, 𝑓 est la translation
de vecteur d'affixe 1+3i.
c) a = 1 /2 + √3/ 2 𝑖, a Î ℂ ∖ ℝ et |1 /2 + √3/
2 𝑖 | = 1.
Donc 𝑓 est une
rotation.
- son angle : Arg(1 2 + √3 2 𝑖) = 𝜋 /3
- son centre a pour affixe :
1 /2 −𝑖 √3 /2
/1−( 1 2 +𝑖 √3/ 2 ) = 1
D'où, 𝑓 est la
rotation de centre d'affixe 1 et d'angle 𝜋 /3
EXERCICE V :
1.On a: f(z)=2eiπ/3 +3-i
La transformation F du plan associée à la bijection f est la composée
d’une translation, d’une rotation de centre O et d’une homothétie de centre
O :
avec 
2.On peut écrire : f(z)=e-iπ/4z -i
F est une rotation d’angle oriente de mesure -π/4
Désignons son centre par le point Ω d’affixe ω
On a : F(Ω)=Ω <=> f(ω)=ω
<=>Ѵ2/2(1-i)ω-i=ω =>
F est la rotation d’angle oriente de mesure -π/4 et de centre
le point d’affixe 
3.F est l’homothétie de rapport 2
Désignons son centre par le point Ω d’affixe ω.
On a : F(Ω)=Ω <=>f(ω)=ω
<=>2ω-3+i=ω =>ω=3-i
F est l’homothétie de rapport 2 et de centre le point d’affixe 3-i.
EXERCICE VI :
1. La bijection complexe f associée à h(Ω,-3)
est définie par :
f(z)=-3z +b avec f(2+i)=2+i
d’ou -3(2+ i) + b=2+i
=>b=4(2+i)
donc f(z)=-3z + 4(2+i).
2.La bijection complexe f associée à
r (Ω,π/6)
est définie par :
f(z)=eiπ/6 z +b avec f(1-i)=1-i
d’ou f(1-i)= eiπ/6(1-i) +b=1-i
=> b=(1-i)(1- eiπ/6 )
donc f(z)= eiπ/6 z +(1-i)(1- eiπ/6 )
=1/2(Ѵ3+i)z
+(1-Ѵ3)/2 – i(3-Ѵ3)/2
EXERCICE VIII:
Soit z un nombre complexe.
On a : f1(z)=eiπ/4 z + b1 et f1(2i)=2i (1)
f2(z)=-2z + b2 et
f2(-i)=-i (2)
f=f2of1 (3)
Des égalités (1) on obtient :
b1=Ѵ2+(2-Ѵ2)i
Des égalités (2)
on obtient:
b2=-3i
Et de l’égalité (3) on obtient :
f(z)=-2eiπ/4z
-2Ѵ2+ (2Ѵ2-7)i .