NOMBRES COMPLEXES ET CONFIGURATIONS DU PLAN

Nombres complexes et configuration du plan

Vecteurs du plan

A et B sont deux points du plan.

· Les points A et B sont repérés :

-soit par leurs coordonnées (x_A;y_A); (x_B;y_B)

-soit par leurs affixes : z_A; z_B

De plus, on a:

· Le vecteur est repéré par:

-ses coordonnées: (x_B-x_A, y_B-y_A)

-son affixe:

Donc

Angles orientés

A, B, C, D sont 4 points du plan, la mesure de l’angle formé par les demi-droites (AB, CD) est donnée par:

 + [kϵZ]

ou

 + [kϵZ]

Exemple :

A, B, C, D étant des points d’affixes respectives : Ѵ3 +2i; Ѵ3+i; -2i;1-i;

Calculons: (

On a:

                             =-

Quelques configurations base

Egalite de vecteurs

A, B, C, D sont 4 points du plan

Exemple : A, B, C, D étant des points d’affixes respectives : -Ѵ3+3i; 2i; -i; Ѵ3-2i

Démontrons que ABCD est un parallélogramme.

On a:

Donc :

Egalite des distances

A, B, C, D sont 4 points du plan.

Exemple:

A,B,C étant des points d’affixes respectives : -i;1+i;1-3i

Démontrons que le triangle ABC est isocèle en A.

On a:

 d’où AB=CD

Alignement de trois points

A, B, C étant des points distincts du plan

Exemple :

A, B, C étant des points d’affixes respectives : -1-i; 2+3i; -10-13i

Démontrons que les points A, B, C sont alignes

Orthogonalité de deux droites

A, B, C, D sont 4 points du plan

Droites parallèles

 Propriété

 A, B, C et D sont des points d’affixes respectives z_A , z_B  , z_C  et 𝑧_𝐷

tels que : A≠ B et C≠ D. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si:

Triangles

A, B et C sont des points non alignés d'affixes respectives z_A ,  z_B et  z_C .

- Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si:

- Le triangle ABC est isocèle en A si et seulement si:

 - Le triangle ABC est rectangle et isocèle en A si et seulement si: 

- Le triangle ABC est équilatéral si et seulement si:

Ou

Transformations élémentaires du plan

Ecritures complexes de symétrie centrale de centre O et de symétries Orthogonales d’axes (OI) et (OJ)dans le repère(O,I,J).

Propriété

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, I, J).

 • La symétrie orthogonale d'axe (OI) a pour écriture complexe : 𝑧 ′ = 𝑧̅

 • La symétrie centrale de centre O a pour écriture complexe : 𝑧 ′ = −𝑧

• La symétrie orthogonale d'axe (OJ) a pour écriture complexe : 𝑧 ′ = −𝑧̅

Ecriture complexe d’une translation, d’une homothétie et une rotation

 • Translation de vecteur d'affixe b,

 M et M' sont les points du plan d'affixes respectives z et z'. On a :

𝑀′ = t𝑢⃗ (𝑀) ⟺ 𝑀𝑀′ ⃗ = 𝑢⃗ . ⟺ 𝑧 ′ − 𝑧 = 𝑏 ⟺ 𝑧 ′ = 𝑧 + 𝑏

 La translation de vecteur d’affixe b a pour écriture complexe :

𝑧 ′ = 𝑧 + 𝑏

• Homothétie de centre Ω et de rapport 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ∗

 h est l'homothétie de centre Ω d’affixe Z_Ω et de rapport 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ∗ .

M et M' sont les points du plan d'affixes respectives z et z'.

On a :

𝑀′ = ℎ(𝑀) ⟺ Ω𝑀′ ⃗= 𝑘Ω⃗𝑀⃗

<= >Z’-Z_Ω = 𝑘(Z - Z_Ω)

<= >Z’=k(Z - Z_Ω) + Z_Ω

L'homothétie de centre Ω d’affixe Z _Ω et de rapport k a pour écriture complexe :

z’=k(z - z_Ω) + z_Ω

• Rotation de centre Ω et d’angle 𝜃,

𝜃 ∈ ]−𝜋, 𝜋]

 r est la rotation de centre de centre Ω d’affixe Z_Ω et d'angle orienté de mesure principale 𝜃.

 • M et M' sont les points du plan d'affixes respectives z et z' tels que M est distinct de Ω.

On a:

𝑀′ = 𝑟(𝑀) ⟺  Ω𝑀′ = Ω𝑀  et 𝑀𝑒𝑠(Ω𝑀; ⃗ Ω𝑀′ ̂) = 𝜃

 • 𝑟(Ω) = Ω , le point Ω est invariant

On a :

z’−𝒛_Ω /𝒛−𝒛_Ω =𝒆 ^𝒊q   =>  -z’=𝒆 ^𝒊q (z – z_Ω) + z_Ω

La rotation de centre Ω d’affixe z_Ω et d'angle orienté de mesure principale 𝜃 a pour écriture complexe :

z’= e^𝒊q (z – z_Ω) + z_Ω

EXERCICES

EXERCICEI:

On considère les points A(-2+3i), B(2+4i), C(5+3i), D(1+2i) et E (-7).

a. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

   Calculer l’affixe de son centre.

b. Les points D, C et E sont-ils alignés ?

EXERCICEII:

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, u , v ).

 On donne les points A, B, C, D, I, J et K d’affixes respectives 2 + 𝑖, 2 - 𝑖, 5 - 2𝑖, 5 + 2𝑖 ,1, i et 4. Justifie que :

1) Les droites (AB) et (CD) sont parallèles ;

2) Les points J, I et B sont alignés ;

3) Les droites (OK) et (DC) sont perpendiculaires ;

4) Le triangle JBD est rectangle en B ;

5) Les points A, B, C et D sont cocycliques.

EXERCICE III:

 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, I, J).

1) Détermine l’écriture complexe de l’homothétie h de centre Ω d’affixe − 1 − i et de rapport 3.

2) Détermine l’écriture complexe de la translation 𝑡 de vecteur u⃗ d’affixe 1 + 4𝑖.

3) Détermine l’écriture complexe de la rotation 𝑟 de centre A d’affixe 1 + 𝑖 et d’angle 2π/ 3.

EXERCICE IV:

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O ; I, J).

Détermine dans chaque cas, la nature et les éléments caractéristiques de la transformation 𝑓 du plan défini par son écriture complexe :

a) z’ = 5z + 2i

 b) z’ = z + 1 + 3i

c) z’ = (1/ 2 + 𝑖 √3/2) z + 1 /2 − 𝑖 √3 /2

EXERCICE V:

1. Déterminer la transformation F du plan associée à la bijection complexe f définie par: f(z)=(1+iѴ3)z +3-i

2. Déterminer la transformation F du plan associée à la bijection complexe f définie par: f(z)=Ѵ2/2(1-i)z -i

3. Déterminer la transformation F du plan associée à la bijection complexe f définie par: f(z)=2z -3+i

4.Déterminer la transformation F du plan associée à l’homothétie h de rapport -3 et de centre le point Ω d’affixe 2+i.

5.Déterminer la bijection complexe f associée à la rotation r d’angle oriente de mesure π/6 et de centre le point Ω d’a affixe 1-i.

6. r est une rotation d’angle oriente de mesure π/4 et de centre le point A d’affixe 2i,

h une homothétie de rapport -2 et de centre le point B d’affixe -i

On désigne par F la transformation hor du plan.

Déterminer la bijection complexe f associée à F

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CORRIGES

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