SYSTEME LINEAIRE DE TROIS EQUATIONS A TROIS INCONNUES DANS IRXIRXIR

Définition :

On appelle système linéaire de trois équations dans 3 tous systèmes de la forme :

La résolution d’un système linéaire de trois équations à 3 inconnues se fait par la méthode de substitution ou la méthode du pivot de GAUSS.

Méthode du pivot de GAUSS.
La méthode du pivot de GAUSS consiste à triangulariser le système (S) ci-dessus. C’est-à-dire le rendre équivalent à un système (S’) ci-après

Remarque :
-Deux systèmes sont dits équivalents lorsqu’ils ont le même ensemble solution.
-Lorsqu’on remplace une équation d’un système par la combinaison linéaire des équations du système, On obtient un système équivalent au système initial.

La méthode du pivot de GAUSS se déroule comme suit :
I- Fixer une des trois équations qu’on appelle pivot (supposons que notre pivot ici est (L1))
II- Utiliser le pivot pour éliminer l’inconnue x dans les équations (L2) et (L3); on obtient ainsi les équations (L’₂) et (L’₃) respectivement qui ne dépendent que des inconnues y et z.

III- On fixe une des équations (L’₂) et (L’₃) (supposons qu’on a fixé (L’₂) puis on l’utilise pour éliminer l’inconnue y dans l’équation (L’₃)); ce nous conduit à l’équation (L’’₃) qui ne dépend que de z.
IV- Le système triangulaire ( S’) est donc le système formé par (L1),(L’2) et (L’’3)dans cet ordre pour ce cas de figure.

Exemple :

Système linéaire de deux équations à 3 inconnues

Exemple :

EXERCICES

EXERCICE I:

1. Résoudre par substitution, puis par la méthode du pivot de Gauss le système :

2. Résoudre par substitution, puis par la méthode du pivot de Gauss le système :

3. Résoudre par substitution, puis par la méthode du pivot de Gauss le système :

EXERCICE II:

Anna se rend à la banque et retire au guichet une somme de 725€.La banquière lui remet 45 billets dont:

- des billets de 5€

-des billets de 10€

-des billets de 20€

A la sortie de la banque, elle se rend dans un supermarché .Après son passage la caisse, il lui reste la moitié des billets de 10€, la moitié des billets de 20€, et toujours le même nombre de billets de 5€ et une somme totale de 375€.

Combien Anna avait-elle des billets de 5€,10€ et 20€ à la sortie de la banque ?

EXERCICE III :
Une salle de spectacle propose deux sortes de spectacles : pièces de théâtre ou concert. Toutes les places sont au même prix mais le tarif n’est pas le même s’il s’agit d’une pièce de théâtre ou s’il s’agit d’un concert. Alexandre réserve 2 places pour une pièce de théâtre et 4 places pour un concert, il paie 170 €. Bérénice réserve 3 places pour une pièce de théâtre et 2 places pour un concert, elle paie 135 €.
Quels sont les tarifs respectifs pour une pièce de théâtre ou pour un concert ?

EXERCICE IV :
La direction d’une usine de meubles a constaté qu’il y a des temps morts dans chacun des départements de l’usine.
Pour remédier à cette situation, elle décide d’utiliser ces temps morts pour fabriquer deux nouveaux modèles de bureaux, M1 et M2. Les temps de réalisation pour chacun de
ces modèles dans les ateliers de sciage, d’assemblage et de sablage ainsi que les temps libres dans chacun de ces ateliers sont donnés dans le tableau ci-dessous. Ces temps représentent le nombre
d’heures nécessaires à un homme pour effectuer le travail. Les profits que la compagnie peut réaliser pour chacun de ces modèles sont de 300 FCFA pour M1 et de 200 FCFA pour M2.

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