FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

DEFINITION ET PROPRIETE

Définition

On appelle fonction logarithme népérien, la primitive sur l’intervalle  de la fonction   
notée ln et prenant la valeur 0 en 1

 Propriétés

P1) Domaine de définition.

Soit U une fonction définit sur son domaine de définition,

P2) pour tous les nombres réels et strictement positifs on a

 EQUATIONS ET INEQUATIONS COMPORTANT LA FONCTION (lnx)

METHODE
Pour résoudre les équations (resp les inéquations) comportant, on procède comme suit :
Ø On détermine l’ensemble de validité (contrainte sur l’inconnue)

                                       
Ø On transforme l’équation (resp l’inéquation) sous la forme ,

                                           lna=lnb <=>a=b

                          (resp        lna≤lnb <=> a≤b   )

Ø On résout l’équation (resp l’inéquation) et on détermine l’ensemble solution en
tenant compte de l’ensemble de validité.
NB : on pourra faire un changement de variable dans certain cas en posant:X=lnx

DERIVEÉS ET PRIMITIVES

 Dérivée
.            Soit U une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. la fonction ln est dérivable sur I et on a:

(ln(U))’=U’/U

NB:ln│(U)’│=U’/U

 Primitive
               soit U une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un intervalle I.
La fonction admet pour primitive sur I la fonction:

ln|U|  +k,

k étant un nombre réel.

ETUDE DES FONCTIONS LOGARITHMES

 Limites de références
Les limites classiques ou limites de références sont admises :

Etude de la fonction  lnx

·
Domaine de définition :

·
Limites :

·
Dérivée et sens de variation :

 ln est dérivable sur

·
Donc la fonction ln est strictement croissante.

Tableau de variation :

· Branche infinie :

donc la courbe admet une branche
parabolique de direction (OI)

Donc la droite x=0 est asymptote verticale à la courbe
de f

· Points d’intersection avec les axes :

donc la courbe de coupe l’axe des
abscisses en

·  
Equations des tangentes aux points

 

·

Construction de la courbe ( ) de :

LOGARITHME DE BASE a

Définition et propriété
Définition :

Soit à ϵ ]0;1 [ ⋃ ]1;+∞ [ on appelle logarithme de base la fonction notée log_a et définie par: log_a(x)=

Remarque : R₁: si a=e , alors log_e(x)==lnx
R₂: si a=10 , alors log₁₀(x)==logx (logarithme décimal)

Propriétés : le logarithme de base possède les mêmes propriétés que la fonction logarithme
népérien.

EXERCICES

EXERCICE I:  Déterminer l’ensemble de définition de chaque fonction f

a.

b.

c.

d  

EXERCICE II:  Calculez les limites des fonctions suivantes:

a.

b.

c.

d.

EXERCICE III: Calculez les dérivés des fonctions suivantes:

a.

b.

c.

d.

EXERCICE IV: Cochez la bonne réponse.

1-La dérivée de la fonction:

 f(x)=ln(x² + 1) est:

a) -3      b) -3x    c) -3/ln(-3x+1)     d) pas de bonne réponse

2-Une primitive de la fonction:

 f(x)=x/(x²+1):

a) ln(x²  + 1)        b) 1/2ln(x²  + 1)   c) 2 ln(x²  + 1)   d) =1/2(x²+1)

3-Le domaine de définition de la fonction:

  f(x)= 1/2ln(x²  + 1)   est:

a) R                    b) R\{1}              c) R\{-1}            d) R*

4-La valeur de   ꭍ₁² 1/x dx est:

a)1/2                  b) ln2                   c) -1/2              d)-ln2

5-La solution de l’inéquation ln(x + 4) > ln(2x-1)  est:

a)]1/2;5[           b)]-∞;5[                c)]-4;1/2[          d) aucune bonne réponse

EXERCICE V: Calculez les dérivés des fonctions suivantes:

a.

b.

c.

d.

EXERCICE VI:

a. ln(-2x+1)=ln(x+4)

b.

c.

d.

EXERCICE VII:

1-Trouver deux nombres réels a et b tels que pour tout x réel,

P(x)= -x³ + 2x²+x-2= (x²-1)(ax + b),

 Déterminer les solutions de l’équation P(x)=0.

2-En déduire dans R les solutions des équations suivantes:

a) - (lnx)³  + 2(lnx)² + lnx - 2 =0

b) -e^3x  + 2e^2x +e^x -2 = 0

EXERCICE VIII:

1-a) Résoudre dans RxR le système suivant:

2x + 5y=19

x + y= 5

b) En déduire les solutions dans RxR du système suivant:

lnx² +  lny⁵=6

lnx⁴   +  lny⁴ = 20

2- Résoudre dans R, l’équation (E):

           X² - 4X +3 =0