FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

DEFINITION ET PROPRIETE
DEFINITION
On appelle fonction logarithme népérien, la primitive sur l’intervalle $Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image002.png$ de la fonction
notée ln et prenant la valeur 0 en 1
$Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image006.jpg$

PROPRIETES
P1) Domaine de définition.

Soit U une fonction définit sur son domaine de définition,

$Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image007.png$

P2) pour tous les nombres réels et strictement positifs on a

$Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image008.png$

EQUATIONS ET INEQUATIONS COMPORTANT LA FONCTION (lnx)
METHODE
Pour résoudre les équations (resp les inéquations) comportant, on procède comme suit :
Ø On détermine l’ensemble de validité (contrainte sur l’inconnue)

Ø On transforme l’équation (resp l’inéquation) sous la forme ,

lna=lnb <=>a=b

(resp lna≤lnb <=> a≤b )

Ø On résout l’équation (resp l’inéquation) et on détermine l’ensemble solution en
tenant compte de l’ensemble de validité.
NB : on pourra faire un changement de variable dans certain cas en posant :X=lnx

DERIVEÉS ET PRIMITIVES

Dérivée
. Soit U une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. la fonction ln est dérivable sur I et on a :

(ln(U))’=U’/U

NB :ln│(U)’│=U’/U

Primitive
soit U une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un intervalle I.
La fonction $Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image018.png$ admet pour primitive sur I la fonction :

ln|U| +k,

k étant un nombre réel.

ETUDE DES FONCTIONS LOGARITHMES
Limites de références
Les limites classiques ou limites de références sont admises :

$Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image020.jpg$
Etude de la fonction lnx

·
Domaine de définition :

· $Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image021.png$
Limites :

· $Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image023.jpg$
Dérivée et sens de variation :

ln est dérivable sur

· $Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image024.png$
Donc la fonction ln est strictement croissante.

Tableau de variation :

$Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image025.png$

· Branche infinie :

$Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image026.png$ donc la courbe admet une branche
parabolique de direction (OI)

$Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image027.png$
Donc la droite x=0 est asymptote verticale à la courbe
de f

· Points d’intersection avec les axes :

$Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image028.png$ donc la courbe de coupe l’axe des
abscisses en

· $Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image029.png$
Equations des tangentes aux points

$Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image030.png$

$Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image032.jpg$

· $Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image033.png$

Construction de la courbe ( ) de :

$Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image035.jpg$

LOGARITHME DE BASE a

Définition et propriété
Définition : soit à ϵ ]0 ;1 [ ⋃ ]1 ;+∞ [ on appelle logarithme de base la fonction notée log_aet définie par : log_a(x)= $Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image037.png$

Remarque : R₁: si a=e , alors log_e(x)= $Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image039.png$ =lnx
R₂: si a=10 , alors log₁₀(x)= $Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image041.png$ =logx (logarithme décimal)

Propriétés : le logarithme de base possède les mêmes propriétés que la fonction logarithme
népérien.

$Description : Description : E:\camexams\leçon5_maths_niveauIII_fichiers\image043.jpg$

EXERCICES

EXERCICE I : Déterminer l’ensemble de définition de chaque fonction f

EXERCICE II : Calculez les limites des fonctions suivantes :

EXERCICE III : Calculez les dérivés des fonctions suivantes :

EXERCICE IV: Cochez la bonne réponse.

1-La dérivée de la fonction :

f(x)=ln(x² + 1) est :

a) -3 b) -3x c) -3/ln(-3x+1) d) pas de bonne réponse

2-Une primitive de la fonction :

f(x)=x/(x²+1):

a) ln(x² + 1) b) 1/2ln(x² + 1) c) 2 ln(x² + 1) d) =1/2(x²+1)

3-Le domaine de définition de la fonction :

f(x)= 1/2ln(x² + 1) est :

a) R b) R\{1} c) R\{-1} d) R*

4-La valeur de ꭍ₁²1/xdx est :

a)1/2 b) ln2 c) -1/2 d)-ln2

5-La solution de l’inéquation ln(x + 4) > ln(2x-1) est :

a)]1/2 ;5[ b)]-∞ ;5[ c)]-4 ;1/2[ d) aucune bonne réponse

EXERCICE V : Calculez les dérivés des fonctions suivantes :

EXERCICE VI :

a. ln(-2x+1)=ln(x+4)

EXERCICE VII :

1-Trouver deux nombres réels a et b tels que pour tout x réel,

P(x)= -x³ + 2x²+x-2= (x²-1)(ax + b),

Déterminer les solutions de l’équation P(x)=0.

2-En déduire dans R les solutions des équations suivantes :

a) - (lnx)³ + 2(lnx)² + lnx - 2 =0

b) -e^{3x +} 2e^2x +e^x-2 = 0

EXERCICE VIII:

1-a) Résoudre dans RxR le système suivant :

2x + 5y=19

x + y= 5

b) En déduire les solutions dans RxR du système suivant :

lnx² + lny⁵=6

lnx⁴ + lny⁴ = 20

2- Résoudre dans R, l’équation (E) :

X² - 4X +3 =0.

CORRIGES

EXERCICE I : Déterminer l’ensemble de définition de chaque fonction f

//Une équation de la forme ax²+ bx + c=0 est du signe de a a l’extérieur des racines, ici a=3>0 donc ax²+ bx + c>0

//Une équation de la forme ax²+ bx + c=0 est du signe de -a a l’intérieur des racines, ici a=-1<0 donc ax²+ bx + c<0

EXERCICE II : Calculez les limites des fonctions suivantes :

On pose t=Ѵx =>x=t²=>Ѵxlnx=2tlnt lorsque x→0, t→0

On pose X=2/x =>x=X/2, Lorsque x→+∞, X→0

//car

EXERCICE III : Calculez les dérivés des fonctions suivantes :

EXERCICE IV: Cochez la bonne réponse.

1-La dérivée de la fonction :

f(x)=ln(x² + 1) est : c) -3/ln(-3x+1)

2-Une primitive de la fonction :

f(x)=x/(x²+1) est: b) 1/2ln(x² + 1)

3-Le domaine de définition de la fonction :

f(x)= 1/2ln(x² + 1) est : a) R

4-La valeur de ꭍ₁²1/xdx est : b) ln2

5-La solution de l’inéquation ln(x + 4) > ln(2x-1) est : a)]1/2 ;5[

EXERCICE V :

a. ln(-2x+1)=ln(x+4)

Domaine d’étude :

ln(-2x+1)=ln(x+4)<= >-2x+1=x+4 <= >x=-1 =>S={-1} //-1 appartient bien au domaine d’étude De.

Domaine d’étude : =>

S={)

Domaine d’étude :

=>S=]-3,-1/2[

=>S=]-3,2[

EXERCICE VI :

1-Trouver deux nombres réels a et b tels que pour tout x réel,

P(x)= -x³ + 2x²+x-2= (x²-1)(ax + b),

-x³ + 2x²+x-2= (x²-1)(ax + b)=ax³ +bx²-ax-b

Par identification,

P(x)= (x²-1)(-x + 2)=0=>(x²-1)=0 ou (-x + 2)=0 =>x=-1,1 ou 2.

2-En déduire dans R les solutions des équations suivantes :- (lnx)³ + 2(lnx)² + lnx - 2 =0

On pose :X=lnx

L’équation devient : -X³+2X²+X-2=0

X=lnx=-1=> x=e^-1

X=lnx=1=> x=e

X=lnx=2=> x=e²

EXERCICE VII:

1-a) Résoudre dans IRxIR le système suivant :

2x + 5y=19

x + y= 5

x + y= 5=>y=5-x

2x+5(5-x)= 19 < =>2x-25-5x=19< =>-3x=-6=>x=2

y=5-2=3

b) En déduire les solutions dans IRxIR du système suivant :

lnx² + lny⁵=19 2lnx+5lny=19 2lnx+5lny=19

lnx⁴ + lny⁴ = 20 < => 4lnx+4lny=20 < => lnx+lny=5

on pose :X=lnx et Y=lny

le système devient : 2X + 5Y=19

X + Y= 5

=> X=lnx =2 => x=e²

Y=lny=2 =>y=e³

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