PRIMITIVES

Définition

f est une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive sur I de f toute fonction F dérivable sur I tel que f est la dérivée de F.

Propriété

Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.

Primitives d’une même fonction

Si la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, alors pour tout nombre réel c, la fonction x→F(x) +c , c ϵ IR est une primitive sur I de f.

Toute primitive sur I de f est de cette forme.

Exemple :

x² a pour primitives

Primitive d’une fonction vérifiant une condition initiale

F est une fonction continue sur un intervalle I, x₀ est un nombre réel de I et y₀ un nombre réel. Il existe  une seule primitive de la fonction f sur l’intervalle I qui prend la valeur y₀ en x₀.

Exemple :

Calculons la primitive de la fonction f(x)=x² qui prend la valeur  en x₀.

La primitive de f est F(x)=+k

F(0)= +k donc =0+k  =>k= et F(x)=

Détermination des primitives

Primitives des fonctions élémentaires
Ø La connaissance des dérivées des élémentaires permet de dresser le tableau suivant, où .

Primitives des fonctions composées

Ø Soient U et V les primitives respective des fonctions u et v sur un intervalle I; k un nombre réel
ü La fonction u+v admet pour primitive sur la fonction U+V;
ü La fonction ku admet pour primitive sur la fonction kU .
Ø Soit u une fonction dérivable sur un intervalle Iet v une fonction dérivable sur un intervalle contenant  u(I).La fonction u’x(v’ou) admet pour primitive sur I la fonction (vou).

 On en déduit le tableau suivant :

Ø Pour déterminer les primitives des fonctions trigonométriques du type x→(sinx)^m(cosx)ⁿ, (m,n ϵ IN)
, on peut utiliser l’un des procédés suivants :

- Si et sont de même parité, linéariser sin^mxcosⁿx;
- Si et sont de parités différentes, utiliser sin²x +cos²x =1 et écrire sin^mxcosⁿx sous la forme sinxP(cosx)
si m est impair ou cosxP(sinx) si n est impair, P désignant un polynôme.

EXERCICES

EXERCICE I :

Déterminer les primitives de fonctions suivantes :

a. 

b.

c.iR

d. 

e.

 

EXERCICE II : Déterminer les primitives de fonctions suivantes :

a.

b.

 

EXERCICE III : Déterminer les primitives de fonctions suivantes :

a.

b.

 

CORRIGES

EXERCICE I :

a.

b.

c.

d.

 

EXERCICE II :

a.

b.,

EXERCICE III :

a.

b.