PRIMITIVES

Définition

f est une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive sur I de f toute fonction F dérivable sur I tel que f est la dérivée de F.

Propriété

Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.

Primitives d’une même fonction

Si la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, alors pour tout nombre réel c, la fonction x→F(x) +c , c ϵ IR est une primitive sur I de f.

Toute primitive sur I de f est de cette forme.

Exemple:

x² a pour primitives

Primitive d’une fonction vérifiant une condition initiale

F est une fonction continue sur un intervalle I, x₀ est un nombre réel de I et y₀ un nombre réel. Il existe une seule primitive de la fonction f sur l’intervalle I qui prend la valeur y₀ en x₀.

Exemple:

Calculons la primitive de la fonction f(x)=x² qui prend la valeur en x₀.

La primitive de f est F(x)=+k

F(0)= +k donc =0+k =>k= et F(x)=

Détermination des primitives

Primitives des fonctions élémentaires

Ø La connaissance des dérivées des élémentaires permet de dresser le tableau suivant, où .

Primitives des fonctions composées

Ø Soient U et V les primitives respectives des fonctions u et v sur un intervalle I; k un nombre réel
ü La fonction u+v admet pour primitive sur la fonction U+V;
ü La fonction ku admet pour primitive sur la fonction kU .
Ø Soit u une fonction dérivable sur un intervalle Iet v une fonction dérivable sur un intervalle contenant u(I). La fonction u’x(v’ou) admet pour primitive sur I la fonction (vou).

On en déduit le tableau suivant :

Ø Pour déterminer les primitives des fonctions trigonométriques du type x→(sinx)^m(cosx)ⁿ, (m,n ϵ IN)
, on peut utiliser l’un des procédés suivants :

- Si et sont de même parité, linéariser sin^mxcosⁿx;
- Si et sont de parités différentes, utiliser sin²x +cos²x =1 et écrire sin^mxcosⁿx sous la forme sinxP(cosx)
si m est impair ou cosxP(sinx) si n est impair, P désignant un polynôme.