REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION

BRANCHES INFINIES D’UNE REPRESENTATION GRAPHIQUE

Asymptote verticale

Lorsque la fonction f(x) tend vers l’infini quand x tend vers a, la droite d’équation x=a est asymptote verticale.

Exemple:

,

 => la droite y=1 est asymptote verticale.

Asymptote horizontale

Lorsque la fonction f(x) tend vers un nombre b quand x tend vers l’infini, la droite d’équation y=b est asymptote horizontale.

Exemple:

,

      => la droite y=2 est asymptote horizontale.

Asymptote oblique

La droite y=ax + b est une asymptote  oblique  à la courbe en    si   = 0.

Exemple:

f(x) peut s’écrire sous la forme  +

    =>   la droite y=x-1 est asymptote oblique.

Branches paraboliques

Lorsque la fonction f(x) tend vers l’infini quand x tend vers l’infini, la courbe C_f représentative de la fonction admet une branche parabolique.

Si  = + alors la courbe admet une branche parabolique.

·  => la courbe admet une branche parabolique de direction (O, I).

·  => la courbe admet une branche parabolique de direction (O, J).

Position relative de la courbe par rapport à son asymptote

La position relative entre deux courbes Cf et Cg est donnée par le signe de la différence f(x)-g(x).

· Si f(x)-g(x)>0 sur l’ensemble I, Cf est au-dessus (strictement) de Cg sur cet ensemble de points.

· Si f(x)-g(x)<0 sur l’ensemble I, Cf est au-dessous (strictement) de Cg sur cet ensemble de points.

· Si f(x)-g(x)=0 sur l’ensemble I, Cf coupe Cg sur cet ensemble de points.

ETAPES D’ETUDE D’UNE FONCTION :

1. Variations de f

Ensemble de définition

Ensemble d’étude

-parité

-périodicité

Déterminer les limites aux bornes du domaine de définition ;

Dérivé

-déterminer f’

-signe de f’

Tableau de variation

2-Représentation graphique

Points et droites remarquables

-Asymptotes

-Tangentes

Constructions de la courbe

-table de valeurs

-choix du repère et des unités

3-Propriétés graphiques

Éléments de symétrie

-axes de symétrie

-centre de symétrie

Branches paraboliques

Points d’inflexion

EXERCICES

EXERCICE I:

Rechercher les branches infinies de la représentation graphique des fonctions suivantes:

1.

2.

3.

4.

5.

EXERCICE II: Rechercher les propriétés graphiques (éléments de symétrie, branches paraboliques, points d’inflexion…)  des fonctions suivantes:

1. 

2.

3. 

EXERCICE III: Étudier les variations des fonctions suivantes:

1.

2.

3.

EXERCICE IV: a, b et c sont des nombres réels. On considère la fonction f définie par:

, dont le tableau de variation est le suivant :

X	-∞                         0                       1                   2                +∞
f’(x)	+             0                -	-         0         +
f(x)	-1      -∞                                                 -∞	+∞                                    +∞                       3

En vous aidant du tableau de variation ci-dessus:

1-Déterminer l’ensemble de définition de f

2- Déterminer f(0), f(2) et f’(0)

3- En déduire les réels a, b et c.

4- Déterminer l’asymptote verticale et montrer que la droite d’équation y=x est une asymptote oblique de la courbe Cg.

5-Construire Cg.

EXERCICE V:

 On donne la fonction définie par
1-Donner le domaine de définition de cette fonction

2-Etudier les limites aux bornes du domaine de définition. Préciser les branches infinies.

3-Montrer que cette fonction peut s’écrire sous la forme    où a, b et c sont des coefficients réels à déterminer.

4-Montrer que la droite y=x-6 est une asymptote oblique à la courbe représentative (Cf) de f(x).

5-Dresser le tableau de variation de cette fonction

6-Représenter cette fonction dans un repère orthonormé (O, i, j).

EXERCICES VI:     on donne la courbe représentative d’une fonction f(x) ci-dessous:

1.Determiner en justifiant votre réponse, les équations des asymptotes a la courbe de la fonction f.

2.

3.

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CORRIGES

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