REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION
BRANCHES INFINIES
D’UNE REPRESENTATION GRAPHIQUE
Asymptote verticale
Lorsque la fonction f(x) tend vers l’infini quand x tend
vers a, la droite d’équation x=a est asymptote verticale.
Exemple :
,
=> la droite y=1 est asymptote verticale.
Asymptote horizontale
Lorsque la fonction f(x) tend vers un nombre b quand x tend
vers l’infini, la droite d’équation y=b est asymptote horizontale.
Exemple :
,
=> la droite y=2 est asymptote
horizontale.
Asymptote oblique
La droite y=ax + b
est une asymptote oblique à la courbe en 
si 
= 0.
Exemple : 
f(x) peut s’écrire sous
la forme 
+
=>
la droite y=x-1 est asymptote oblique.
Branches paraboliques
Lorsque la fonction f(x) tend vers l’infini quand x tend
vers l’infini, la courbe Cf représentative de la fonction admet
une branche parabolique.
Si 
=
+
alors la courbe admet une branche parabolique.
· 
=> la courbe admet une branche parabolique
de direction (O, I).
· 
=> la courbe admet une branche parabolique
de direction (O, J).
Position
relative de la courbe par rapport à son asymptote
La position relative entre deux courbes Cf et
Cg est donnée par le signe de la différence f(x)-g(x).
·
Si
f(x)-g(x)>0 sur l’ensemble I, Cf est au-dessus (strictement) de Cg sur cet ensemble
de points.
·
Si
f(x)-g(x)<0 sur l’ensemble I, Cf est au-dessous (strictement) de Cg sur cet ensemble
de points.
·
Si f(x)-g(x)=0 sur l’ensemble I, Cf coupe Cg sur cet ensemble
de points.
ETAPES DE L’ETUDE D’UNE
FONCTION :
1. Variations de f
Ensemble de définition
Ensemble d’étude
-parité
-périodicité
Déterminer les limites aux bornes du domaine de
définition ;
Dérivé
-déterminer f’
-signe de f’
Tableau de variation
2-Représentation graphique
Points et droites remarquables
-Asymptotes
-Tangentes
Constructions de la courbe
-table de valeurs
-choix du repère et des unités
3-Propriétés graphiques
Éléments de symétrie
-axes de symétrie
-centre de symétrie
Branches paraboliques
Points d’inflexion
EXERCICES
EXERCICE I :
Rechercher les branches
infinies de la représentation graphique des fonctions suivantes :
1. f(x)=x2
2. 
3.
4.
5. 
EXERCICE II : Rechercher les propriétés graphiques (éléments
de symétrie, branches paraboliques, points d’inflexion…) des fonctions suivantes :
1. 
2. 
3. 
EXERCICE
III : Étudier les variations des fonctions
suivantes :
1. 
2. 
3. 
EXERCICE IV : a, b et c sont des nombres réels. On
considère la fonction f définie par :
, dont le tableau de
variation est le suivant :
|
X |
-∞ 0 1 2 +∞ |
|
|
f’(x) |
|
-
0 + |
|
f(x) |
-∞
-∞ |
3 |
En vous aidant du tableau de variation
ci-dessus :
1-Déterminer l’ensemble de définition de f
2- Déterminer f(0),
f(2) et f’(0)
3- En déduire les réels
a, b et c.
4- Déterminer l’asymptote
verticale et montrer que la droite d’équation y=x est une asymptote oblique de
la courbe Cg.
5-Construire Cg.
EXERCICE V :
On donne la fonction définie par
1-Donner
le domaine de définition de cette fonction
2-Etudier les limites aux bornes du domaine de
définition. Préciser les branches infinies.
3-Montrer que cette fonction peut s’écrire sous
la forme 
où a, b et c sont des coefficients réels à
déterminer.
4-Montrer que la droite y=x-6 est une
asymptote oblique à la courbe représentative (Cf) de f(x).
5-Dresser le tableau de variation de
cette fonction
6-Représenter cette fonction dans un
repère orthonormé (O, i, j).
CORRIGES :
EXERCICE
I :
Rechercher
les branches infinies de la représentation graphique des fonctions
suivantes :
1. f(x)=x2
=>La courbe de f admet des branches
infinies
=> La courbe de f admet une
branche parabolique de direction (O,J)
2. 
=>La courbe de f admet des branches
infinies
=> La courbe de f admet une
branche parabolique de direction (O,I)
3.
=>La courbe de f admet des branches
infinies
=> La courbe de f admet une
branche parabolique de direction y=
4.
+2x
=>La courbe
de f admet une asymptote horizontale y=0
5. 
=> La
courbe de f admet une asymptote oblique d’équation y=x-6.
EXERCICE II : Rechercher
les propriétés graphiques (éléments de symétrie, branches paraboliques, points
d’inflexion…) des
fonctions suivantes :
1. 
·
Ensemble de définition : Df=IR
·
Asymptote : y=2
·
Tangentes horizontales aux
points A et B abscisses respectives -2 et 1/2 (extrémums).
2. 
· Ensemble de
définition : Df=
·
Asymptotes : y=(1/2)x-1 et x=2
·
Centre de symétrie : point d’intersection des asymptotes.
3. f(x)=
·
Ensemble de définition : Df=IR
· Ensemble
d’étude :
·
Parité : impaire
·
Centre de symétrie : O
·
Point d’inflexion
EXERCICE III :
1.
Ensemble de définition :
Contraintes :
Tableau de signe
|
x |
-∞
-1
1 +∞ |
||
|
1-x2 |
- |
. + |
- |
Ensemble d’étude
=-
. f est impaire. On peut donc étudier f sur ]0,1] et compléter par une symétrie par rapport
à O.
Limites
+∞
1
Dérivée :
f’(x)=
Tableau de variation
|
x |
|
|
|
f’(x) |
|
|
|
f(x) |
|
|
2.Ensemble de définition :
-1
ó1
ó
Df=IR
Ensemble d’étude :
=
. => f est périodique de période T=2п. On peut étudier f sur 
Dérivée :
Tableau de variation :
|
x |
0 |
||
|
f’(x) |
+ |
- |
+ |
|
f(x) |
|
|
|
3. 
Ensemble de définition :
cos2x=1 => 2x=2kп =>x=kп avec kϵZ
f(x) est pour
tout x
kп , kϵZ
Ensemble d’étude :
Périodicité : f est périodique
de période T=п. On peut réduire l’étude de f sur 
Parité : f est paire donc
est l’ensemble d’étude.
Dérivée : 
Tableau de variation
|
x |
0 |
|
f’(x) |
|
|
f(x) |
|
EXERCICE IV :
1- 
2- f(0)=-1,
f(2)=3 et f’(0)=0
3- En déduire
les réels a, b et c.
f(0)=-1 <=>
,
=>c=1
f(2)=3 <=>
,=3 => 4a+2b=2
f’(x)=
f’(0)=0 <=>
=0 =>
b=-c=-1 et a=1
,
4- 
=> la droite x=1 est asymptote verticale.
y =x est
asymptote oblique