REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION

BRANCHES INFINIES D’UNE REPRESENTATION GRAPHIQUE

Branches paraboliques

Lorsque la fonction f(x) tend vers l’infini quand x tend vers l’infini, la courbe C_freprésentative de la fonction admet une branche parabolique.

Si = + alors la courbe admet une branche parabolique :

· la courbe admet une branche parabolique de direction (O, I).

· la courbe admet une branche parabolique de direction (O, J).

Asymptote verticale

Lorsque la fonction f(x) tend vers l’infini quand x tend vers a, la droite d’équation x=a est asymptote verticale.

Exemple:

la droite x=1 est asymptote verticale.

Asymptote horizontale

Lorsque la fonction f(x) tend vers un nombre b quand x tend vers l’infini, la droite d’équation y=b est asymptote horizontale.

Exemple:

la droite y=2 est asymptote horizontale.

Asymptote oblique

La droite y=ax + b est une asymptote oblique à la courbe en si = 0.

Exemple:

f(x) peut s’écrire sous la forme +

la droite y=x-1 est asymptote oblique.

Position relative de la courbe par rapport à son asymptote

La position relative entre deux courbes Cf et Cg est donnée par le signe de la différence f(x)-g(x).

· Si f(x)-g(x)gt;0 sur l’ensemble I, Cf est au-dessus (strictement) de Cg sur cet ensemble de points.

· Si f(x)-g(x)lt;0 sur l’ensemble I, Cf est au-dessous (strictement) de Cg sur cet ensemble de points.

· Si f(x)-g(x)=0 sur l’ensemble I, Cf coupe Cg sur cet ensemble de points.

PROPRIETES GEOMETRIQUES D’UNE REPRESENTATION GRAPHIQUE

Fonction paire – fonction impaire
Soit f une fonction, D_f son domaine de définition on dit que :
Ø f est paire si pour tout x ϵ D_f tel que -x ϵ D_f on a f(-x) = f(x)
Ø f est impaire si pour tout x #1013; D_f tel que -x ϵ D_f on a f(-x) = - f(x)

Remarque :
Ø La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Ø La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

Fonction périodique
soit f une fonction, d’ensemble de définition D_f . Soit T un nombre réel strictement positif. On dit que
f est périodique de période T si pour tout x ϵ Df on a : f(x +T) = f(x)

Remarque :

Pour étudier une fonction périodique, on l’étudie sur une période et on représente la courbe C0 sur une période. On obtient sa représentation graphique(Cf) en prenant les image de(C0) par une série de translation de (C0) sur tout le domaine de définition.

Eléments de symétrie d’une courbe
Ø centre de symétrie : Soit une f fonction, (C_f) sa courbe représentative. On dit que le point #921;(a,b) est centre de symétrie de (C_f) si pour tout x de Df tel que a - x et a + x appartiennent à D_f ,on a : f(a – x) + f(a + x) = 2b ou f(2a – x) + f( x) = 2b

Ø axe de symétrie : Soit une f fonction, (C_f) sa courbe représentative. On dit que la droite (D) d’équation x = a est un axe de symétrie de (Cf) si pour tout x de Df tel que a - x et a + x appartiennent à D_f , on a : f(a – x) = f(a + x) ou f(2a – x) = f( x)

Fonction associée à une fonction donnée

Le plan est muni d’un repère orthogonal (O, I, J).

Pour faire des constructions, on utilise les propriétés suivantes :

Soient f et g deux fonctions de courbes respectives C_f et C_g

1.si g(x)=-f(x) alors C_g est l’image de C_f par symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses.

La courbe de la fonction - f(x) s’obtient de celle de f en faisant une symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Ses variations sont contraires à celles de f.
2. Si g(x)=f(-x) alors C_g est l’image de C_f par symétrie orthogonale par rapport à l’axe des ordonnées.

La courbe de la fonction f( - x) s’obtient de celle de f en faisant une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Ses variations sont contraires à celles de f .

3.Si g(x)=

-Dans la zone du plan où C_f est au-dessus de l’axe des abscisses, alors C_g est confondu à C_f.

- Dans la zone du plan où C_f est en dessous de l’axe des abscisses, alors C_g est l’image de Cf par symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses.

4.Si g(x)= ,C_g est la réunion de la courbe C_f située à droite de l’axe des ordonnées et son symétrique par rapport à cet axe.
5. La courbe de la fonction f(x - a) s’obtient de celle de f en faisant une translation de vecteur ( a,0) . Ses variations sont identiques à celles de f.
6. La courbe de la fonction f(x) + b s’obtient de celle de f en faisant une translation de vecteur ( 0,b). Ses variations sont identiques à celles de f.
7. La courbe de la fonction f(x - a) + b s’obtient de celle de f en faisant une translation de vecteur ( a,b). Ses variations sont identiques à celles de f.