COMPARAISONS ET ENCADREMENTS

COMPARAISONS

Comparaison des entiers relatifs

Soit la droite graduée suivante :

-La distance à zéro d’un nombre décimal relatif est ce nombre sans signe.

Exemple :la distance a zéro de -5 est 5

-Lorsque deux nombres décimaux sont positifs, le plus grand à la plus grande distance à zéro.

Exemple : 3>2

-Lorsque deux nombres décimaux sont négatifs, le plus grand a la plus petite distance à zéro.

Exemple : -4<-1

-Tout nombre négatif est plus petit que zéro.

Exemple : -7<0

Valeur absolue

La Valeur absolue d’un nombre relatif a est sa distance a zéro sur la droite numérique.

La Valeur absolue se note |a| et se lit « Valeur absolue de a »

Exemple :

|-6|=6

|+6|=6

Comparaison des rationnels

a) Si deux fractions ont le même dénominateur la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur

Exemple : comparer

b) Pour comparer deux fractions de dénominateurs différents on doit les réduire d’abord au même dénominateur puis on applique la regle1

Exemple : comparer

Comme

c) Pour tout réels a, b, c et d avec b et d différents de zéro

Exemple :

Propriétés :

Comparaison des réels

A et B sont deux nombres positifs.

Exemples : A=2 , B=5 et C=13

2<5 =>Ѵ2<Ѵ5(si on fait racine carre de deux termes positifs d’une inegalite, elle ne change pas).

=> (2)²<(5)²(si on eleve au carre de deux nombres positifs d’une inegalite, elle ne change pas).

=>2+13<5+13(si on ajoute un nombre aux deux termes positifs d’une inegalite, elle ne change pas).

=>2x13<5x13(si on multiplie deux termes positifs d’une inegalite par un meme nombre, elle ne change pas).

=>1/2>1/5(si on divise deux termes positifs d’une inegalite par un meme nombre, elle ne change pas).

ENCADREMENTS

Encadrement des rationnels

Toute fraction peut s’écrire sous la forme où q et r désignent respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b .

Un encadrement de la fraction par deux nombres entiers naturels consécutifs est :

q est appelé partie entière de la fraction .

Toute fraction peut être encadrée par deux nombres décimaux consécutifs qui sont des quotients approchés par défaut (le plus petit) et par excès ( le plus grand)

Exemple :a=5 et b=3

Ona :

Remarques :

Encadrement des réels

a, b, c, d, x et y désignent des nombres positifs tels que

a<x<b et c<y<d,

alors :

Exemples :2<x<5 et 6<y<7 alors :

2+6<x+y<5+7(si on ajoute un nombre positif aux deux termes d’une inegalite, elle ne change pas)

-7<-y<-6 (lorsqu’on multiplie les termes d’une inegalite par-, le sens de l’inegalite change c-a-d < devient > et vice versa).

2-7<x-y<5-6

1/7<1/y<1/6(lorsqu’on divise les termes de deux inegalites entre eux,l’ inegalite change de sens).

2x6<xxy<5x7(lorsqu’on multiplie les termes de deux inegalites entre eux,l’ inegalite ne change pas).

2/7<x/y<5/6(lorsqu’on divise les termes de deux inegalites entre eux,l’ inegalite change de sens).

TRONCATURE ET ARRONDI D’UN NOMBRE RATIONNEL

La troncature d’ordre n d’un rationnel est l’ecriture décimale de ce nombre en retenant n chiffres apprès la virgule.

Tronquer

Exemple :

Tronquer le nombre 325,49 au dixième ?

0n identifie quel chiffre représente les dixièmes, et on supprime simplement tout ce qui est à droite. Ici le chiffre des dixièmes est le 4. On coupe donc à cet endroit et on oublie tout ce qui est à droite des dixièmes.

Résultat : 325,4

Arrondir

Pour arrondir un nombre, au dixième, au centième ou au millième, il faut couper ce nombre après un, deux, ou 3 chiffres après la virgule. Il faut analyser le chiffre qui est placé à droite de la coupure et appliquer une des deux règles suivantes :

Règle 1 • si le chiffre qui suit est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors on augmente de 1 le chiffre qui représente la référence mathématique identifiée. Arrondi par excès. Le résultat est plus grand que le nombre original.

Règle 2 • si le chiffre qui suit est 0, 1, 2, 3 ou 4, alors on tronque le nombre à la référence mathématique identifiée. Arrondi par défaut. Le résultat est plus petit que le nombre original. Les arrondis sont obtenus après avoir observé le chiffre qui suit le rang indiqué.

Exemples :

Arrondir le nombre 325,49 au dixième ? Cet exemple correspond à la règle 1

Réponse : arrondir le nombre 325,49 au dixième = 325,5 (arrondi par excès)

Arrondir le nombre 325,49 à l'unité ? Cet exemple correspond à la règle 2

Réponse : arrondir le nombre 325,49 à l'unité = 325 (arrondi par défaut)

Valeur approchée par excès et par défaut

Définition

● La valeur approchée par défaut d’un nombre à un rang donné est sa troncature

● Pour donner la valeur approchée par excès d’un nombre à un rang donné on rajoute 1 au dernier chiffre du nombre tronqué

Exemples :

Exemple 1 : Donner une valeur approchée à l’unité près de 59,4671 59 < 59,4671 < 60 Valeur approchée par défaut de 59,4671 à l’unité près ( 59 est la troncature à l’unité )