SIMILITUDES

Similitudes directes du plan

Définitions :

·         On appelle similitude plane toute application f du plan dans lui-même telle que :

∃k ∈ R ^∗ +, ∀ M, N ∈ P, d’images respectives M’, N’

M’N’= kMN.

k est le rapport de la similitude f.

 

·         Une similitude directe plane est une similitude plane f qui conserve les angles orientés

.

Propriété 1. Une similitude directe est la composée d’un déplacement (translation ou rotation) et d’une homothétie.

Propriété 2 : On peut vérifier facilement que :

1) Toute translation, toute homothétie et toute rotation est une similitude directe.

2) L’identité est une similitude.

3) Une isométrie est une similitude de rapport 1.

4) La composée de deux similitudes de rapports respectifs k₁ et k₂ est une similitude de rapport k₁ × k₂ .

5) La réciproque d’une similitude de rapport k est une similitude de rapport 1/ k .

6) Toute similitude de rapport k est la composée d’une homothétie de rap[1]port k et d’une isométrie.

 

Propriété 3 : Dans une similitude de rapport k, le produit scalaire est multiplié par k ^{2 .}

Propriété 4 : Une similitude conserve les angles géométriques.

Propriété 5 : Un repère orthogonal se transforme par une similitude en un repère orthogonal, c’est à dire qu’un triangle rectangle isocèle se transforme en un triangle rectangle isocèle.

Propriété 6 : Une similitude transforme une droite en droite, un cercle en cercle.

Propriété 7 : Une similitude conserve les angles géométriques, le parallélisme, l’orthogonalité, l’alignement, le contact, le barycentre et multiplie les aires par le carré de son rapport.

 

Exemple : On donne un triangle équilatéral direct ABC du plan orienté. On note I le milieu de [BC]. On considère la similitude directe s telle que : s(I) = B et s(B) = A. Déterminons le rapport et l'angle de s.

Soit k le rapport de s et θ son angle.

 s(I) =B et  s(B)= A <= >BA=kIB  et Mes(𝐼𝐵⃗,𝐵𝐴⃗ =θ

k= BA/IB=2IB/IB=2

Le triangle est équilatéral direct :θ=-2π/3

 Donc s est une similitude directe de rapport 2 et d’angle - 2 π/3

 Ecriture complexe d’une similitude plane directe

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ;⃗𝑢 ;⃗𝑣 ).

 

Définition

Une similitude directe est une transformation du plan dont l’écriture complexe est de la forme :

z’=az + b  où a ∈ ℂ* et b ∈ ℂ.

Propriété

Ø  Soit s une similitude directe d'écriture complexe z' = a z + b

où a ∈ ℂ* et b ∈ ℂ.

* Si a =1, alors s est la translation de vecteur d'affixe b.

 * Si a ≠1 alors s est la similitude directe de centre d'affixe 𝑏 /1−𝑎 , de rapport |a|, d'angle Arg(a).

 

NB : Lorsque 𝑎 ≠ 1, la similitude directe est caractérisée par : son centre, son rapport et son angle.

 

Exemple1 :

Détermine les éléments caractéristiques de la similitude directe S dont l’écriture complexe est :

𝑧 ′ = (1 − 𝑖)𝑧 + 𝑖

Solution

L’écriture complexe de S est de la forme

 𝑧 ′ = 𝑎𝑧 + 𝑏 où a = 1 – i, et b = i.

 a ≠1. Soit A le centre de S, k son rapport et θ son angle.

• L’affixe du centre A est

 𝑏 /1−𝑎 = 𝑖 /1−(1−𝑖) = 𝑖/ 𝑖 =1

 • Le rapport k est tel que : k = |a| ,

=> k =  √2

• L’angle q est tel que : θ= Arg(a)

On a : cosθ = √2/ 2 et sinθ = − √2 /2 , donc θ = − π /4

S est la similitude directe de centre A d’affixe1, de rapport √2 et d’angle− π/ 4

 

Ø  Si a ≠1 la similitude admet un seul point fixe Ω. Cette similitude est alors la composée dans un ordre indifférent d’une homothétie de rapport k = |a| de centre Ω et d’une rotation de même centre et d’angle θ = arg(a). Si ω est l’affixe de Ω, on a alors :

                                   z’ − ω = ke^iθ (z − ω)

Exemple2 : On donne une similitude s dont l’ecriture complexe est

 z=(1 − i √ 3)z − 1 + i

Cherchons le rapport et le centre

Solution :

 L’écriture complexe de la transformation f est de la forme

 z’ = az + b, donc f est une similitude directe.

Si Ω est le centre, ce point est invariant : f(Ω)=Ω

 <=>z = (1 − i √ 3)z − 1 + i

   => ω = −1 + i /1 − 1 + i √ 3

            = −1 + i/ i √ 3 = 1 + i/ √ 3

            = 1 /√ 3 + i /√ 3 .

 De plus, (1 + i √ 3) = 2( 1/ 2 − i √ 3 /2 ) = 2e ^{−i π /3} .

On en déduit que f est une similitude directe de centre Ω( 1/√3  ; 1/√3 ) de rapport 2 et d’angle − π /3 .

 

 Méthode.

Pour déterminer les équations caractéristiques d’une similitude directe s

d’expression complexe  z’= az + b (a ∈ C ∗\{1}, b ∈ C),

1. Résoudre l’équation z = az + b, on obtient le centre de s.

2. Calculer le module de a, on obtient le rapport de s.

3. Déterminer un argument de s, on obtient l’angle de s.

Remarque

 • Toute rotation de centre A et d’angle a est une similitude directe de centre A , de rapport 1  et d’angle a.

 •Toute homothétie de centre A et de rapport k (𝑘 > 0) est une similitude directe de centre A, de rapport k et d’angle nul.

 •Toute homothétie de centre A et de rapport k (𝑘 < 0) est une similitude directe de centre A , de rapport −𝑘 et d’angle 𝜋. .

Reconnaitre une similitude directe définie par son écriture complexe

 Propriétés

Dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormé direct, on considère la similitude directe S d’écriture complexe z' = az+ b où a ∈ ℂ* et b ∈ℂ.

 

 

Détermination de l’écriture complexe d’une similitude directe donnée par son centre, son rapport et son angle.

 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ;⃗𝑢; 𝑣 ).

Propriété

Soit M' un point du plan d'affixe z' qui est l’image d'un point M d'affixe z par une  similitude directe S de centre W d’affixe 𝑧W , de rapport k et d'angle q. On a : z’ − ω = ke^iθ (z − ω)

Exemple : Donnons l’expression complexe de la similitude s de centre Ω(2; −1) de rapport 2 et d’angle π/ 6 .

Solution.

 La similitude directe s a pour point invariant Ω d’affixe ω = 2 − i.

 On a : z’= az + b ⇒ω = aω + b

⇒b=ω(1 − a)

⇒ z’= az ω(1 − a)

⇒ z’ = az + ω(1 − a).

 Donc

 z’= 2e ^{i π /6} (z − 2 + i) + 2 − i

= 2( √ 3 2 + i 2 )(z − 2 + i)) + 2 − i

= (√ 3 + i)(z − 2 + i) + 2 − i

= (√ 3 + i)z − 2 √ 3 − 1 − 2i + i √ 3 + 2 − i

= (√ 3 + i)z + 1 − 2 √ 3 + i( √ 3 − 3).

 

Images de figures simples par une similitude directe

Propriété 1

Toute similitude directe de rapport k transforme :

• une droite en une droite ;

• une demi-droite en une demi-droite ;

• un segment de longueur ℓ en un segment de longueur kℓ ;

•un cercle de   centre A et de rayon 𝑟 en un cercle de centre A’, image de A par la similitude directe, et de rayon 𝑘𝑟.

Propriété 2

Toute similitude directe de rapport 𝑘 multiplie :

 • les distances par 𝑘 ;

• les aires par 𝑘²

 

Expression analytique d’une similitude directe plane

 Soit f est une similitude directe d’expression complexe z’= az + b.

Posons z = x + iy, z’ = x’+iy’, a = α + iβ et b = m + in avec x, x’ , y, y’ , α, β, m, n ∈ R.

 z’= az + b ⇐⇒ x’ + iy’ = (α + iβ)(x + iy) + m + in

⇐⇒  x’ + iy’ = α(x + iy) + iβ(x + iy) + m + in

 ⇐⇒  x’ + iy’ = αx + iαy + iβx − βy + m + in

⇐⇒ x’ + iy’ = αx − βy + m + i(αy + βx + n)

⇐⇒

 Le système obtenu est l’expression analytiques de la similitude directe f.

Exemple.

1.Déterminer l’expression analytique de la similitude directe s définie par

 z’= (1 − 2i)z − 3 + i

2.Déterminer l’expression complexe puis la nature et les éléments caractéristiques de la similitude directe dont l’expression analytique est

  

 

Solution.

1. Posons z = x + iy et z’ = x’+iy’ .

 Alors,  z’ = x’+iy’= (1 − 2i)(x + iy) − 3 + i

= x + iy − 2ix + 2y − 3 + i

= x + 2y − 3 + i(−2x + y + 1)=>

2.

 z’=x’+iy’ = x − y √ 3 + 2√ 3 + i(x √ 3 + y − √ 3)

 = x(1 + i √ 3) + y(− √ 3 + i) + 2√ 3 − i √ 3

 = (z + z)/2 (1 + i √ 3) + (z + z)/ 2 (− √ 3 + i) + 2√ 3 − i √ 3

 =[ (1 + i √ 3 )/2 +( − √ 3 + i)/ 2i ]z +[ (1 + i √ 3)/ 2 – (− √ 3 + i)/ 2i ]z

+ 2√ 3 − i √ 3 = (1 + i √ 3)z + 2√ 3 − i √ 3

 L’équation z’ = (1 + i √ 3)z + 2√ 3 − i √ 3

a pour unique solution (2 √ 3−i √ 3) /(1−1−i √ 3) = 1 − 2i.

 De plus, 1 + i √ 3 = 2( 1 /2 + i √ 3 /2 ) = 2e ^{i π /3} .

 Donc f est une similitude directe de centre Ω(1, −2), de rapport k = 2 et d’angle θ = π/ 3 .

 

EXERCICES

EXERCICE I :

On donne trois points A, B et C deux à deux distincts et un point D tels que : 𝐴𝐷⃗ = 2𝐴𝐵⃗ − 5𝐶𝐷⃗.

On considère la similitude directe s telle que : s(A) = A', s(B) = B', s(C) = C' et s(D) = D'.

Justifie que : 𝐴⃗’𝐷⃗ ′ = 2𝐴⃗’𝐵⃗′ − 5𝐶⃗′ 𝐷⃗′ .

EXERCICE II :

 ABC est un triangle équilatéral direct de centre de gravité G. I est le milieu de [AB]. Pour chacune des similitudes directes suivantes préciser son rapport et son angle.

EXERCICE III :

 ABCD est un carré direct. O est le centre de ABCD et I le milieu de [AB]. Pour chacune des similitudes directes préciser son rapport et son angle.

EXERCICE IV :

Considérons la similitude directe plane définie par  z’ = (− 1 2 + i √ 3 2 )z + 3 + i √ 3.

EXERCICE V :

Détermine l’écriture complexe de la similitude directe de centre A d’affixe i, de rapport √2 et d’angle π/4 .

 EXERCICE  VI:

Eléments caractéristiques de la similitude directe

 d’écriture complexe :  z’= (−2 + 2i)z + 5 + i

EXERCICE VII :

On considère les similitudes directes

 s₁ :  z’= 2iz+1−2i et s₂ :  z’= (1−i)z+1+i.

Déterminer l’expression complexe puis la nature et les éléments caractéristiques de le similitude s₂ ◦ s₁ et de s −1  .

EXERCICE VIII :

 Soit s la similitude directe d’écriture complexe : z’ = (1 − i) z + 2 − i.

1. Déterminer les éléments caractéristiques de s.

 2. Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z tels que :

 | (1 − i) z + 2 − i |= 4

3. Retrouver le résultat de la question précédente par une méthode algébrique.

EXERCICE  IX :

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct.

 On considère l'application s du plan dans lui-même qui à tout point M de coordonnées (x, y), associe le point M' de coordonnées (x', y') telles que : 

1) Trouve l'écriture complexe de s.

2) Déduis-en que s est une similitude directe.

CORRIGES

EXERCICE I :

𝐴𝐷⃗ = 2𝐴𝐵⃗− 5𝐶𝐷⃗

 Û −6𝐴𝐷⃗ + 2𝐴𝐵⃗ + 5𝐴𝐶⃗ = ⃗0 .

 Û A = bar{(D, -6) ; (B, 2) ; (C, 5)}.

Toute similitude directe conserve le barycentre.

D'où, A' = bar{(D', -6) ; (B', 2) ; (C', 5)}.

Donc, −6𝐴⃗′𝐷⃗′ + 2𝐴⃗𝐵⃗ ′ + 5𝐴′𝐶′ ⃗= ⃗0 . Par suite 𝐴′𝐷′ ⃗= 2𝐴′𝐵′ ⃗ − 5𝐶′𝐷′ ⃗

EXERCICE II :

1) s1 a pour centre B et s1(I) = C On obtient alors pour rapport et angle : k = BC BI = 2 et θ = − π 3 2) s2 a pour centre I et s2(A) = C On obtient alors pour rapport et angle : k = IC IA = √ 3 AB 2 × 2 AB = √ 3 et θ = − π 2 3) s3 a pour centre A et s3(G) = C On obtient alors pour rapport et angle : k = AC AG = AC 2 3 × √ 3 AC 2 = √ 3 et θ = π

 EXERCICE III :

1) s₁ a pour centre C et s₁(A) = B On obtient

alors pour rapport et angle : k = CB /CA = √ 2 /2 et θ = π /4

2) s₂ a pour centre O et s₂(I) = C On obtient

 alors pour rapport et angle : k = OC/ OI = √ 2 et θ = 3π

EXERCICE IV :

On a : | − 1/ 2 + i √ 3/ 2 |  = 1

et arg(− 1/ 2 + i √ 3/ 2 ) = 2π /3 (2π).

D’autre part, 3+i √ 3 /(1+ 1/ 2 −i √ 3/ 2)

= 3+i √ 3 /(3 /2 −i √ 3 /2)

= 2(3+i √ 3)/ (3−i √ 3 }

= 2(3+i √ 3)(3-iѴ3)/( (3+i √ 3)(3-iѴ3)=2

= 2(6+6i √ 3) /12 = 1 + i √ 3.

Cette similitude directe est donc la rotation d’angle θ = 2π /3 et de centre Ω(1; √ 3).

EXERCICE V:

 z' = √2𝑒 ^{𝑖 π /4}(z − z_A) + z_A

z'= √2 ( √2 /2 + 𝑖 √2 /2 ) (𝑧 − 𝑖) + 𝑖

z'= (1 + 𝑖)(z – 𝑖) + 𝑖 z'= (1 + 𝑖)z + 1

 L’écriture complexe de la similitude directe s est : z'= (1 + 𝑖)z + 1.

EXERCICE VI :

On obtient donc :

 ➪ k = | − 2 + 2i| = 2|1 + i| = 2 √ 2

➪ on a alors cos θ = − 1 /√ 2 et sin θ = 1/ √ 2,

on obtient donc θ = 3π /4

➪ on résout l’équation au point fixe pour obtenir le centre :

 ω = (−2 + 2i)ω + 5 + i

< =>ω(1 + 2 − 2i) = 5 + i

 < =>ω(3 − 2i) = 5 + i

=>ω =( 5 + i )/(3 − 2i)

= (5 + i)(3 + 2i)/13=1+i

EXERCICE  VII :

 s₁ a pour expression complexe

z’ = 2e ^{i π /2} z + 1 − 2i.

Donc elle a pour rapport k₁ = 2 et d’angle θ₁ = π/ 2 .

 s₂ a pour expression complexe

 z’= √ 2e ^{−i π/ 4} z + 1 + i.

Donc elle a pour rapport k₂ = √ 2 et d’angle θ₂ = − π /4 .

La composée s₂ ◦ s₁ est donc une similitude directe de rapport

 k = k₁k₂ = 2√ 2 et d’angle θ = θ₁ + θ₂ = π/ 2 − π /4 = π/ 4 .

 La réciproque s₁ ^{−1  de} s₁ est une similitude directe de rapport

 k’= 1/ k1 = 1 /2 et d’angle θ’ = −θ₁ = − π/ 2 .

Attention ! ! s ◦ s ₀ et s ₀ ◦ s ne sont pas égales.

Remarque. Si deux similitudes directes ont même centre, alors s ₀ ◦ s = s ◦ s ₀ , c’est-á-dire composées d’homothéties et de rotations de même centre.

EXERCICE VIII

1. Soit M(z). On a s(M) = M

⇒ z = (1 − i)z + 2 − i

⇒ [1 − (1 − i)]z = 2 – i

 iz = 2 − i =

⇒ z = (2−i)/ i = −1 − 2i.

Par ailleurs 1 − i = √ 2( √ 2/ 2 − i √ 2 /2 ) = √ 2e ^{−i π/ 4} .

 Donc s est la similitude de centre

 Ω(−1; −2) de rapport √ 2 et d’angle −π/ 4 .

 2. On a : |(1 − i)z + 2 − i| = 4

⇒ |z z’| = 4

⇒ |1 − i||z + 2+i 1−i | = 4

 =⇒ |z + (2−i)(2+i) /2 | = √ 4 2 =

⇒ |z + 3+i /2 | = 2√ 2 =⇒

 =⇒ AM = 2√ 2 avec A(− 3/ 2 ; − 1/ 2 ). Donc M décrit C(A; 2√ 2).

3. Retrouvons ce résultat par une méthode algébrique.

 Posons z = x + iy et  z’= x’ + iy’ .

On a : |(1−i)z+2−i| = 4 =⇒ |(1−i)(x+iy)+2−i| = 4 =⇒ |x+y+2+i(−x+y−1)| = 4 =

⇒ (x+y+2)²+(−x+y−1)² = 16

⇒ x ²+y ²+4+4x+4y+2xy+x ²+y ²+1+2x−2y−2xy = 16 =

⇒ 2x ²+2y ²+6x+2y+5 = 16

⇒ x ²+y ²+3x+y+ 5/ 2 = 8

⇒ (x+ 3/ 2 ) ²− 9/ 4+(y+ 1/ 2 ) ²− 1/ 4+ 5/ 2 = 8 =

⇒ (x + 3/ 2 ) ² + (y + 1/ 2 ) ² = 8.

Donc M décrit C(A; 2√ 2).

9 + 4 = 15 + 10i + 3i – 2/ 13 = 13 + 13i /13 = 1 + i la similitude est de rapport 2√ 2 d’angle θ = 3π/ 4 et de centre Ω(1 + i).

EXERCICE  IX :

1)Posons : z = x + iy et z' = x' + iy' ou z et z’ sont les affixes respectives de M et M’.

 z = x + iy

z' = x' + iy'

z' = (x +y -3) + i(- x+ y +2) z' = x +y -3 + - ix + i y +2i

= (1- i)x + (1+ i)y - 3 + 2i = (1 - i)x + (1- i)iy - 3 + 2i |

on met i en facteur dans le bloc (1+i)y = (1- i)(x + iy) - 3 + 2i = (1 - i)z - 3 + 2i

 L'écriture complexe de S est : z’ = (1 - i)z - 3 + 2i.

2) L'écriture complexe de s est de la forme :

 z' = az + b où a Î ℂ* et b Î ℂ.

 D'où, s est une similitude directe.