ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS

Ensemble IN des entiers naturels

C’est un ensemble constitué des nombres entiers naturels. On écrit: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.

A tout entier n, on peut toujours trouver un entier n’ tel que n’=n+1. On dit que IN est un ensemble infini.

IN* est l’ensemble IN moins l’élément {0}.

458 est un élément de IN. On écrit: 458 N et on lit:«458 appartient à IN»

3,5 n’est pas un élément de IN. On écrit: 3,5 IN et on lit: «3,5 n’appartient pas à IN»

Ensemble Z des entiers relatifs

C’est un ensemble constitué des entiers négatifs et des entiers positifs. On écrit: Z={….,-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,…}

L’ensemble Z est un ensemble infini. Il résulte de la réunion de deux sous –ensembles:

Z-={….,-5,-4,-3,-2,-1,0} (entiers relatifs négatifs)

Z+={0,+1,+2,+3,…..} (entiers relatifs positifs)

On écrit: Z=Z- ᴜ Z+

Tous les éléments de l’ensemble IN sont aussi éléments de Z, on dit que IN est inclus dans Z et on note: N Z

Ensemble ID des décimaux relatifs

C’est un ensemble constitué des nombres décimaux à décimales limitées.

Il résulte de la réunion de deux sous –ensembles:

ID-: Décimaux négatifs

ID+: Décimaux positifs

Exemples:

0,7∈ID; 3/2∈ ID;

2/3∉ ID (car 2/3=0,666666666666666….partie décimale illimitée)

Ensemble ℚ des nombres rationnels

C’est un ensemble constitué des nombres pouvant s’écrire sous la forme où a Z et b Z*

Exemples:

2/3 ℚ ,

0,7 ℚ

Ensemble IR des nombres réels

Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels : Ces nombres sont appelés des nombres irrationnels. Ils comportent une partie décimale illimitée. La réunion de l’ensemble des nombres rationnels et l’ensemble des nombres irrationnels est noté IR lire ensemble des nombres réels.

Les nombres irrationnels ont un radical (Ѵ).

On note:

IR-: ensemble des réels négatifs

IR+: ensemble des réels positifs

IR*: ensemble des réels non nuls

Exemples: √ 2 est un nombre irrationnel

π (pi) est un nombre irrationnel (les nombres à décimales non limitées).

EXERCICES