CORRIGES:

EXERCICE I:

Rechercher les branches infinies de la représentation graphique des fonctions suivantes:

1. f(x)=x²

 =>La courbe de f admet des branches infinies

=> La courbe de f admet une branche parabolique de direction (O,J)

2.

 =>La courbe de f admet des branches infinies

=> La courbe de f admet une branche parabolique de direction (O,I)

3.

 =>La courbe de f admet des branches infinies

=> La courbe de f admet une branche parabolique de direction y=

4. +2x

=>La courbe de f admet une asymptote horizontale y=0

5.

=> La courbe de f admet une asymptote oblique d’équation y=x-6.

EXERCICE II: Rechercher les propriétés graphiques (éléments de symétrie, branches paraboliques, points d’inflexion…)  des fonctions suivantes:

1. 

· Ensemble de définition: Df=IR

· Asymptote: y=2

·  Tangentes horizontales aux points A et B abscisses respectives -2 et 1/2  (extrémums).

2. 

· Ensemble de définition: Df=

· Asymptotes: y=(1/2)x-1 et x=2

· Centre de symétrie: point d’intersection des asymptotes.

3. f(x)=

· Ensemble de définition: Df=IR

· Ensemble d’étude:

· Parité : impaire

· Centre de symétrie: O

· Point d’inflexion

EXERCICE III:

1.

Ensemble de définition:

Contraintes:

Tableau de signe

x	-∞                      -1                            1                           +∞
1-x^2	-	.            +	-

Ensemble d’étude

=-. f est impaire. On peut donc étudier f sur ]0,1] et compléter par une symétrie  par rapport à O.

Limites  

 +∞           

  1       

Dérivée:

f’(x)=

Tableau de variation

x	0                                            1
f’(x)
f(x)	+∞                                     1

2.Ensemble de définition:

-1 ó1óDf=IR

Ensemble d’étude:

=. => f est périodique de période T=2п. On peut étudier f sur

Dérivée:

Tableau de variation:

x	0                          /2.                            3/2.                       2
f’(x)	+	-	+
f(x)	½                        1	1/3	1/2

3.

 Ensemble de définition:

cos2x=1 => 2x=2kп =>x=kп avec kϵZ

f(x) est pour tout xkп , kϵZ

Ensemble d’étude:

Périodicité: f est périodique de période T=п. On peut réduire l’étude de f sur

Parité: f est paire donc est l’ensemble d’étude.

Dérivée:

Tableau de variation

x	0                                                                                 /2
f’(x)	-
f(x)	. +∞                                                                               0

EXERCICE IV:

1-

2- f(0)=-1, f(2)=3 et f’(0)=0

3- En déduire les réels a, b et c.

f(0)=-1  <=>, =>c=1

f(2)=3 <=>,=3 => 4a+2b=2

f’(x)=

f’(0)=0 <=>=0 => b=-c=-1 et a=1

,

4-  => la droite x=1 est asymptote verticale.

y =x est asymptote oblique

EXERCICE V:

1.Domaine de définition de cette fonction

Df=

2-Etude des limites aux bornes du domaine de définition.

3-Montrons que cette fonction peut s’écrire sous la forme    où a, b et c sont des coefficients réels à déterminer.

=

4-Montrer que la droite y=x-6 est une asymptote oblique à la courbe représentative (Cf) de f(x).

5-Tableau de variation de cette fonction

f’(x)=0  <= >

f’(x)≥0 pour tout x appartenant a

f’(x)≤0 pour tout x appartenant à [-1;3]

f(-1)=-9

f(3)=1

x	-∞                -1                            1                         3                      +
f’(x)	+	-	-         +
f(x)	-∞.               -9                 -∞		+               1                      +

EXERCICES VI:    

1.a)

b)f’(x)=0 =>S=ø

f(x)=0 =>S={3}

f(x)=3=>S={3/2)

c) f(x)≥0 =>S=ø

f’(x)≤0 =>S=]-∞;1] U [1; +∞[

x	-∞                                                 1                                               +
f’(x)	-	-
f(x)	-1                                     -∞	+                                     -1

b.