CORRIGES

Exercice I :

//si a divisé par b donne q et le reste est r, on a : a=bxq +r

a est le dividende

b est le diviseur

r est le reste

1. Reste de la division euclidienne de 27 par 15. => 27=15x1 +12

                        27 :15=1 reste=12

2.  Reste de la division euclidienne de 15 par 12. => 15=12x1 +3

                     15 :12=1 reste=3

3. Reste de la division euclidienne de 12 par 3=>  12 =3x4 +0

                      12 :3=4 reste=0

4. Le PGCD est le dernier reste non nul 3.                       //C’est la détermination du pgcd par l’algorithme d’Euclide

Exercice II :

1. Décomposer 36 en un produit de facteurs premiers.

36 2

18 2

9   3

3   3

1 

          36=2x2x3x3x1 =2²x3²x1

2. Décomposer 30 en un produit de facteurs premiers.

30 2

15 3

5   5

1

            30=2x3x5x1

3. Le pgcd est issu des facteurs communs aux deux décompositions, chacun étant affecté de son plus petit exposant.

                   Pgcd(36,30)=2x3=6

Exercice III :

1.   

45-35=10

35-10=25

25-10=15

15-10=5

10-5=5

5-5=0

2. Le pgcd est le dernier résultat non nul 5.

3.

si a=b alors PGCD(a,b) = a (ou b)
Sinon PGCD(a,b) = PGCD(a-b,b) si a > b
Sinon PGCD(a,b) = PGCD(a, b-a)

4. PPMC (45,35) =  =  315

EXERCICE IV :

Il suffit de trouver PGCD (561,462) =33

EXERCICE V :

1.Il faut déterminer PGCD(361;475).

On effectue les divisions euclidiennes successives. Le dernier reste non nul étant 19, le PGCD de 475 et 361 est 19. non nul puis à l’aide de dalles carrées de 19 cm de côté, on peut donc carreler une surface rectangulaire de 4,75 m sur 3,61 m (il faudra 19 dalles en longueur et 25 en largeur, soit un total de 475 dalles en tout.

2. La taille du dernier carré sera PGCD(84 ;192)=12 De manière générale, si on note x et y les dimensions de la feuille initiale, la taille du dernier carré sera PGCD(x ;y).