CORRIGES

EXERCICE I :

1. Ep=mgz=mgOG(1-cosθ)    OG=L/2 et 1-cosθ≈θ²/2   

2.=

^{Les frottements sont négligeables donc, Em est conservée.}

En dérivant les deux termes de l’expression par rapport au temps, on a :

) 

//(cosu)’=u’sinu

3.

=

EXERCICE II :

1.

a est la distance OG,

Pour des oscillations de faible amplitude, sinθ≈θ

       =>        

2.

3,d=8r=20cm

.

4. La solution de cette équation différentielle est de la forme Θ=θ_msin(ω₀t +φ)

A t=0, Θ=θ_m  <=> θ_m =θ_msin(φ) => sin(φ)=1  => φ=π/2

Θ=10sin(6,32t + π/2)  t en seconde et θ en radians

EXERCICE III :

1. J_Δ=J_O+m(L/4)² +m(L/2)²=ML²/12+mL²/16+mL²/4

=J_O+ml²/2= (4ML²+15mL²)/48

AN: J_Δ=(4x2+15x0,1)2²/48=0,79 kg.m².

2.Em=Ec + Epp=1/2 J +m’gL(1-cosθ)

= 1/2 J +m’ga

m’ est la masse totale de la tige + particules m’=M+m+m=2+0,1+0,1=2,2kg

En l’absence des frottements, Em est constant => dEm/dt=0

=>

C’est une équation différentielle de second ordre sans second membre de la forme : 

3.La solution de cette équation différentielle est de la forme Θ=θ_msin(ω₀t +φ)

A t=0, Θ=θ_m  <=> θ_m =θ_msin(φ) => sin(φ)=1  => φ=π/2

Θ=0,1sin(0,79t + π/2)  t en seconde et θ en radians