CORRIGES

EXERCICE I:

1. Les solutions sur l’ensemble des nombres réels de cette équation différentielle sont des fonctions de la forme ke^-3x avec k et a des nombres réels

f(0)=1   <=>ke^-3x0=1 =>k=1

f(x)=e^-3x est une solution

vérification :

f’(x)= -4e^-4x

f’+4f=-4e^-4x+ 4e^-4x=0

2.

L’équation caractéristique est r²-4r-4=0, admet pour solutions réelles -1 et 4.

 Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions :

x→ Ae-^x + Be^4x, A et B étant des réels

f(0)=0  <=>A+B=0

f’(0)=4   <=>-A+4B=4    =>B=1 et A=0 donc f(x)= e^4x est une solution.

3.

L’équation caractéristique est r² +12/5 r+36/25=0, admet pour solution réelle -6/5.

 les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions :

x→(Ax + B)e^{-6/5 x} , A et B étant des réels.

4. Résolvons f’’ - 4f’ +4f =0

L’équation caractéristique est r²-4r+4=0, admet pour solution réelle 2.

 les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions :

f_AB(x) =(Ax + B)e^2x , A et B étant des réels

f_AB(0)=1  <=> B=1

f’_AB(0)=0 <=>A +2B=0 =>A=-2

f_AB(x) =(-2x + 1)e^2x

EXERCICE II:

Tache 1 : la vitesse d’accroissement h’(t) de cette population a l’instant t est proportionnelle au nombre h(t) d’habitants à cet instant donc h’(t)=ah(t), a reel.

Tache 2 : Cette équation est du type h’- ah=0 donc admet pour solution h(t)=ke^at. Reste à déterminer k et a avec les conditions initiales.

En 1990, 4 750 000=ke^1990a

En1995, 5 500 000=ke^1995a

d’où c’est-a-dire

5a=ln550/475 =>a=0,03

Par la suite, h(t)=5500000e^0,03(t-1995)

Tache 3 : Déterminons en quelle année la population du Benin sera de 10 000 000 d’habitants 

10000000=5 500 000 e^{0,03(t-1995 )}  <=>ln100/55=0,03(t-1995 ) => t=2015

Déterminons en quelle année la population du Benin sera de de 20 000 000 d’habitants 

20000000=5 500 000 e^{0,03(t-1995 )}=> t=2039

EXERCICE III:

Tache 1 :

Désignons par q₀ la charge du condensateur a l’instant initial ou commence la décharge, l’intensité i₀ du courant dans le circuit étant nulle. A un instant quelconque, on a

 est la tension aux bornes du condensateur

Tache 2 :

La loi d’Ohm aux bornes du résistor est :

Tache 3 :

On obtient l’équation différentielle du type :

Les solutions sont de la forme :q=ke-^at

A t=0, q=q₀    <=> q₀=ke⁰=> k=q_o d’où la relation q=q₀e-^at

A t=3 q=q₀e^at=e-³=0,05C