CORRIGES

EXERCICE I:

1.

//𝐴𝐷⃗ = 2𝐴𝐵⃗− 5𝐶𝐷⃗

 Û −6𝐴𝐷⃗ + 2𝐴𝐵⃗ + 5𝐴𝐶⃗ = ⃗0 .

 Û A = bar{(D, -6) ; (B, 2) ; (C, 5)}.

Toute similitude directe conserve le barycentre.

D'où, A' = bar{(D', -6) ; (B', 2) ; (C', 5)}.

Donc, −6𝐴⃗′𝐷⃗′ + 2𝐴⃗𝐵⃗ ′ + 5𝐴′𝐶′ ⃗= ⃗0 . Par suite 𝐴′𝐷′ ⃗= 2𝐴′𝐵′ ⃗ − 5𝐶′𝐷′ ⃗

2.

a- s1 a pour centre B et s1(I) = C On obtient alors pour rapport et angle :

s₁(I) = C

s₁(B) = B (point invariant)  <= >BC=kBI  =>k = BC /BI =2BI/BI= 2 et θ = − π /3

b- s2 a pour centre I et s2(A) = C On obtient alors pour rapport et angle :

s₂(A) = C

s₂(I) = I (point invariant)  <= >IC=kIA  =>k = IC /IA

IC²=AC²-IA²=(2IA)²-IA²=3IA² =>IC=Ѵ3IA

=>k = IC /IA= Ѵ3IA/ IA=Ѵ3 et  θ = - π /2

c- s₃ a pour centre A s3(G) = C On obtient alors pour rapport et angle :

s₃(G) = C

s₃(A) = A (point invariant) <= >AC=kAG  =>k = AC /AG

AG=2/3AJ=2/3IC=2/3 X Ѵ3IA=2/3 X Ѵ3XAC/2

=>k = AC /AG=AC/2/3 X Ѵ3XAC/2=√ 3 et θ = π

3.

a- s₁ a pour centre C et s₁(A) = B On obtient

alors pour rapport et angle : k = CB /CA = √ 2 /2 et θ = π /4

b-s₂ a pour centre O et s₂(I) = C On obtient

 alors pour rapport et angle : k = OC/ OI = √ 2 et θ = 3π

EXERCICE II:

1.On a : | − 1/ 2 + i √ 3/ 2 |  = 1

et arg(− 1/ 2 + i √ 3/ 2 ) = 2π /3 (2π).

D’autre part, 3+i √ 3 /(1+ 1/ 2 −i √ 3/ 2)

= 3+i √ 3 /(3 /2 −i √ 3 /2)

= 2(3+i √ 3)/ (3−i √ 3 }

= 2(3+i √ 3)(3-iѴ3)/( (3+i √ 3)(3-iѴ3)=2

= 2(6+6i √ 3) /12 = 1 + i √ 3.

Cette similitude directe est donc la rotation d’angle θ = 2π /3 et de centre Ω(1; √ 3).

2.On obtient donc :

➪ k = | − 2 + 2i| = 2|1 + i| = 2 √ 2

➪ on a alors cos θ = − 1 /√ 2 et sin θ = 1/ √ 2,

on obtient donc θ = 3π /4

➪ on résout l’équation au point fixe pour obtenir le centre :

 ω = (−2 + 2i)ω + 5 + i

< =>ω(1 + 2 − 2i) = 5 + i

 < =>ω(3 − 2i) = 5 + i

=>ω =( 5 + i )/(3 − 2i)

= (5 + i)(3 + 2i)/13=1+i

3.

 z' = √2𝑒 ^{𝑖 π /4}(z − z_A) + z_A

z'= √2 ( √2 /2 + 𝑖 √2 /2 ) (𝑧 − 𝑖) + 𝑖

z'= (1 + 𝑖)(z – 𝑖) + 𝑖 z'= (1 + 𝑖)z + 1

L’écriture complexe de la similitude directe s est : z'= (1 + 𝑖)z + 1.

4.

 s₁ a pour expression complexe

z’ = 2e ^{i π /2} z + 1 − 2i.

Donc elle a pour rapport k₁ = 2 et d’angle θ₁ = π/ 2 .

 s₂ a pour expression complexe

 z’= √ 2e ^{−i π/ 4} z + 1 + i.

Donc elle a pour rapport k₂ = √ 2 et d’angle θ₂ = − π /4 .

La composée s₂ ◦ s₁ est donc une similitude directe de rapport

 k = k₁k₂ = 2√ 2 et d’angle θ = θ₁ + θ₂ = π/ 2 − π /4 = π/ 4 .

 La réciproque s₁ ⁻¹  de s₁ est une similitude directe de rapport

 k’= 1/ k1 = 1 /2 et d’angle θ’ = −θ₁ = − π/ 2 .

Attention!! s ◦ s ₀ et s ₀ ◦ s ne sont pas égales.

Remarque. Si deux similitudes directes ont même centre, alors s ₀ ◦ s = s ◦ s ₀ , c’est-á-dire composées d’homothéties et de rotations de même centre.

EXERCICE III:

1. Soit M(z). On a s(M) = M

⇒ z = (1 − i)z + 2 − i

⇒ [1 − (1 − i)]z = 2 – i

 iz = 2 − i =

⇒ z = (2−i)/ i = −1 − 2i.

Par ailleurs 1 − i = √ 2( √ 2/ 2 − i √ 2 /2 ) = √ 2e ^{−i π/ 4} .

 Donc s est la similitude de centre

 Ω(−1; −2) de rapport √ 2 et d’angle −π/ 4 .

2. On a : |(1 − i)z + 2 − i| = 4

// (1 − i)z + 2 − i =(1-i)[z +(2-i)/1-i]

|(1 − i)z + 2 − i|=|(1-i)[z +(2-i)/1-i]|=|1-i|| z +(2-i)/1-i|

L’équation peut être réécrite sous la forme:

|z- (-2+i)/(1+i)|=4/|1-i|

En simplifiant, on obtient:

⇒ |z + 3+i /2 | = 2√ 2

⇒ AM = 2√ 2 avec A(− 3/ 2 ; − 1/ 2 ). Donc M décrit le cercle C(A; 2√ 2).

3. Retrouvons ce résultat par une méthode algébrique.

 Posons z = x + iy et  z’= x’ + iy’ .

On a : |(1−i)z+2−i| = 4 =⇒ |(1−i)(x+iy)+2−i| = 4 =⇒ |x+y+2+i(−x+y−1)| = 4 =

⇒ (x+y+2)²+(−x+y−1)² = 16

⇒ x ²+y ²+4+4x+4y+2xy+x ²+y ²+1+2x−2y−2xy = 16 =

⇒ 2x ²+2y ²+6x+2y+5 = 16

⇒ x ²+y ²+3x+y+ 5/ 2 = 8

⇒ (x+ 3/ 2 ) ²− 9/ 4+(y+ 1/ 2 ) ²− 1/ 4+ 5/ 2 = 8 =

⇒ (x + 3/ 2 ) ² + (y + 1/ 2 ) ² = 8.

Donc M décrit C(A; 2√ 2).

9 + 4 = 15 + 10i + 3i – 2/ 13 = 13 + 13i /13 = 1 + i la similitude est de rapport 2√ 2 d’angle θ = 3π/ 4 et de centre Ω(1 + i).

EXERCICE  IV:

1)Posons : z = x + iy et z' = x' + iy' ou z et z’ sont les affixes respectives de M et M’.

 z = x + iy

z' = x' + iy'

z' = (x +y -3) + i(- x+ y +2) z' = x +y -3 + - ix + i y +2i

= (1- i)x + (1+ i)y - 3 + 2i = (1 - i)x + (1- i)iy - 3 + 2i |

on met i en facteur dans le bloc (1+i)y = (1- i)(x + iy) - 3 + 2i = (1 - i)z - 3 + 2i

 L'écriture complexe de S est : z’ = (1 - i)z - 3 + 2i.

2) L'écriture complexe de s est de la forme :

 z' = az + b où a Î ℂ* et b Î ℂ.

 D'où, s est une similitude directe.